三种物系速度和加速度关联研究

陈耿祥 唐柱荣

[摘 要]文章主要讨论高中物理竞赛中相对运动问题的一般处理方法，主要阐述常见的轻杆、轻绳，接触物系及交叉物系中的速度和加速度关联问题。

[关键词]高中物理竞赛；相对运动；速度关联；加速度关联

[中图分类号] G633.7 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）32-0031-03

本文讨论三种典型物系的速度和加速度关联问题。这类问题不仅在物理竞赛中，也在自主招生考试中频频出现。例如，物理竞赛中，刚体动力学的考查比较常见，而且具有一定的难度，找出物系中的相关条件往往成为解答此类问题的关键。在29届全国中学生物理竞赛复赛第三题、32届全国中学生物理竞赛复赛第二题中就考查了质点系的碰撞问题，其中就涉及物系之间的速度关联知识。由于学生在学习过程中可能会出现以下问题：在解题过程中忽视物系相关条件；没有一般性地考虑物系关联的思路；对物系中相对复杂的物理过程理解把握不到位，因而导致这些问题无法顺利解答问题。为了有效解答这类问题，本文详细地分析物理竞赛中三种典型物系中的速度、加速度关联问题。

一、杆、绳物系关联

需要说明的是本文讨论的杆和绳都是不可伸长的，这也是物理竞赛中最常见的模型。由于杆和绳都是不可伸长的，即其上的两个质点间的相对位置不发生变化，这也是处理杆、绳物系关联问题的关键。

如图1所示标出杆、绳上AB两点的速度，AB两点的速度可以分解为两个方向的速度：沿杆或绳方向，为法向速度[vn]，垂直于杆或绳的方向，为切向速度[vt]。由于杆、绳不可伸长，则AB在法向的分速度相等。即

[vAn]=[vBn] （1）

AB的相對速度方向为切向方向，B相对于A的速度可以表示为：[v相=vBt-vAt]。以A为原点，建参考系，B相对于A旋转，若设AB长度为L，B绕A旋转的角速度为ω，B相对于A的速度还可以表示为：

[v相=vBt-vAt]=ωL [et] （2）

AB两点的加速度，同理可以分解为两个方向的加速度：沿杆或绳方向为法向加速度[an]，垂直于杆或绳为切向加速度[at]，如图2所示。由于以A为参考原点，B相对于A旋转，需要一个法向加速度提供向心加速度。若设AB长度为L，B绕A旋转的相对线速度为[v相]（[v相=vBt-vAt]），则AB加速度关联可以表述为：

[aBn-aAn=-v2相Len=-（vBt-vAt）2Len] （3）

[例1]如图3（A）所示，物体A的质量为m，吊索拖着A沿光滑的竖直杆上升，吊索跨过定滑轮B绕在匀速转动的鼓轮上，吊索的速度为v0，滑轮B到竖直杆水平距离为L0，问当吊索与竖直方向成θ角时，A的速度大小及此时绳子的张力。

分析：此题为绳子关联问题，可以由绳子的关联速度求出A的速度，再求出A绕B的相对速度，利用法向加速度关联，可以得到A的法向加速度，再根据牛顿第二定律求出绳子中的张力。

解：（1）根据沿绳方向分速度相等，如图3（B）所示，并设A的速度为vA，得：[vAcosθ=vo] ； [vA=v0/cosθ]。

（2）由于B端只有沿绳方向的速度，所以A绕B旋转的速度为A的切向速度，设为vt，如图3（B）所示，易得：

[vt=vAsinθ=v0tanθ]

以B为参考点，B匀速运动，没有沿绳子方向的加速度，所以A绕B的加速度为：[an=v2tL0/sinθ=（v0tanθ）2sinθL0]

再对A进行受力分析，如图3（C）所示，知A受到三个力：重力mg，绳子的拉力T，杆对A的支持力N，利用牛顿第二定律可得：

[T-mgcosθ-Nsinθ=ma]

在水平方向上：

[Tsinθ=N]

综上可得绳子的拉力为：

[T=mgcosθ+mv20tan3θsinθL0]

二、接触物系关联

接触物系在不发生脱离之前，在垂直于接触面的法向方向位移始终相同，故沿接触面法向分速度相等，如果发生相对滑动的话，在沿接触面的切向方向有相对速度。但对接触物系的加速度关联问题，会因为接触是平面还是曲面而有所不同，下面进行分类讨论。

1.接触面为平面的接触物系

如图4所示，斜面A被限制在水平面上运动，而直杆P被限制在竖直方向上运动，设某时刻A以速度[v]A往左边运动，AP始终接触。AP的速度可以分解为两个方向的分速度，沿接触面的切向方向速度vt和垂直于接触面的法向速度vn。由于沿接触面法向分速度大小相等，可得：

[vPn=vAn] （4）

以A为原点建立参考系，P将沿斜面往下滑，即相对速度沿切向方向：

[v相=（vpt-vAt）et] （5）

同理A、P的加速度也可以分解为两个方向的分加速度，沿接触面的切向加速度at和垂直于接触面的法向加速度an。因为A、P始终接触，速度始终相等，以A为参考系P，沿着A的斜面往下滑，所以A、P法向加速度相等，相对加速度a相沿切向方向：

[aPn=aAn] （6）

[a相=apt-aAt] （7）

2.接触面为曲面的接触物系

[例2]一个半径为R的半圆柱体沿水平方向做加速度为a的匀加速运动，在圆柱面上有一竖直杆P，此杆只能在竖直方向上运动，如图6（A）所示，当半圆的速度为v时，杆与半圆柱体的接触点P的角位置为θ，求此时P的速度及加速度大小。

解：（1）速度分析如图6（B）所示，由于竖直杆与半圆柱面始终接触，法向位移时刻相同，则两者法向速度依然是相同的，可得P点的速度：[vp=vtanθ]。

（2）由速度分析图可知，如图6（B）所示，以半圆为参考系，P相对半圆的速度沿切向方向，可以看成P点绕O点做半径为R的圆周运动，此时的相对速度大小为：

[v'=vcosθ]

如图6（C）所示，P点相对于O点既有切向加速度[at][′]，又有法向加速度[an][′]，此法向加速度即为P绕O做圆周运动的向心加速度：

[an'=v'2R=v2Rcos2θ]

同时，半圆柱的加速度[a]是牵连加速度，P点加速度[ap]为绝对加速度，则相对加速度为[a'=ap-a]，其相对加速度的法向分量为：[-an'=apcosθ-asinθ]

于是便有：[ap=atanθ-v2Rcos3θ]

由上述分析可知，如果接触面是平面，则接触物系法向分速度、法向分加速度相等；但若接触面为曲面，接触物系法向分速度仍然相等，但由于相对运动为曲线运动，法向分加速度不相等，需要考虑向心加速度。

三、交叉物系

[例3]如图7（A）所示，平面内有两个轻杆AB和CD，其夹角为θ，若轻杆AB以速度v1在平面内垂直于AB方向运动，同时轻杆CD以速度v2在平面内垂直于CD方向运动，求两轻杆交叉点P的速度[vp]。

解：此题为典型的交叉物系求交叉点的速度，我们可以通过一小段时间内的位移来理解交叉物系交叉点的运动。

假设刚开始交叉点为P点，经过一小段时间[Δt]后交叉点到达P2点，可以假设CD先不动，AB移动了[v1Δt]到达A′B′，P到达P1；接着A′B′不动，CD移动了[v2Δt]到达C′D′，P1到达P2如图7（B）所示。于是：

[PP1=v1Δtsinθ] [PP2=v2Δtsinθ]

而在相同的[Δt]时间内P运动到

了P2处，可得：

[PP2=vpΔt]

由几何关系可得：

[|PP2|2=|PP1|2+|P1P2|2-2|PP1||P1P2|cosθ]

即：[v2p=v1sinθ2+v2sinθ2-2v1v2sin2θcosθ2v1v2sin2θcosθ]

从例3的分析可以得到这样的结论：线状交叉物系交叉点的速度是相交物系双方沿双方切向分速度的矢量和。如图7（C）所示，AB的速度[v1]可以分解为沿AB方向的分速度[v11]和沿CD方向的分速度[v12]；CD的速度[v2]可以分解为沿AB方向的分速度[v21]和沿CD方向的分速度[v22]；则交叉点P的速度可以表示为：

[vp=v12+v21] （8）

同理可以得到线状交叉物系平动时，交叉点的加速度是相交物系双方沿双方切向分加速度的矢量和。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 范小辉.新编高中物理奥赛指导[M].南京：南京师范大学出版社，2012.

[2] 程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理教程：力学篇[M].合肥：中國科学技术大学出版社，2002.

[3] 潘武明.力学：计算机辅助教程[M].北京：科学出版社，2004.

（责任编辑 易志毅）