《导数的概念》教学设计与反思

黄志桥

[摘 要]以《导数的概念》一课为例，着重从问题导学五环节设计教学，强化设计理念以及检验课堂教学是否达到设计理念.

[关键词]导数的概念；教学设计；问题导学

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）32-0027-02

【教学内容】数学选修2-2第一章第1.1节第1.1.2小节《导数的概念》.

【教学流程】（新课引入）数学史→导数的概念（课题）→高台跳水视频→（概念形成）瞬时速度→用平均速度表示瞬时速度（数形结合）→求出 t = 2s时的瞬时速度→推广求出t0的瞬时速度→瞬时变化率→导数的概念→（概念深化）导数的概念→（应用探索）例1、例2→（回应引入）求出t=3s时的瞬时变化率→（总结归纳 ） 结束课堂.

【教学设计】

南宁三中黄河清校长曾说过：“实施‘问题导学的一个很重要的原则是‘设立标准，执行标准.” 即在课堂教学的几个主要环节中，每个环节重点解决什么问题，教师要有标准，如“新课引入”抓关联性；“概念形成”抓合理性；“概念深化”抓内涵和外延；“应用探索”抓层次性；“总结归纳”抓知识建构.

围绕此标准设置问题，教师就有明确的教学思路和创造的空间，同时也能使学生的思考更有针对性.为此，本节课着重从问题导学的五个环节进行教学设计.

1. “新课引入”抓关联性

新课引入：“20世纪杰出的数学家冯诺依曼曾说：‘微积分是近代数学中最伟大的成就，对它的重要性无论做怎样的评价都不过分.这节课我们就来学习微积分最基础的知识——导数.” 从而引出本节课的课题——导数的概念.

通过数学史的知识渗透，让学生了解“导数”的数学史.接下来，播放“2017年国际泳联世锦赛高台跳水” 视频，让学生通过观看视频了解高台跳水项目的两大特性：“挑战性”和“冒险性” .

挑战性：（1）高：跳台27米；（2）快：整个过程速度越来越快，入水瞬间速度最快；（3）巧：手尖先入水，竖直入水.

冒险性：入水速度非常快，相当于时速70～100公里，所以运动员入水前的速度与安全有非常紧密的联系.

为了保证高台跳水运动项目的安全性，知道运动员在任意时刻的速度是很有必要的.因为上一节课已经知道了用平均速度描述运动员的运动状态是有一定的局限性的.因此，教师可根据高台跳水的背景，自然引入瞬时速度.

课堂上，此环节基本上能体现教学的设计意图，在播放高台跳水视频的过程中，能把学生都吸引到课堂上来，同时也激起了学生的学习兴趣.

2.“概念形成”抓合理性

“平均速度→瞬时速度”：引导学生以已知探究未知，让学生初步感受“无限”“ 逼近”的思想.

通过数形结合，在图像上不断缩小[t]与[t0]的距离，学生能从中感受到平均速度与瞬时速度的关系，但是此时还是没有数的出现，学生虽感到[t=2s]时的瞬时速度就要求出来了，可是还是没法求出.对此，学生产生焦虑情绪，也激起了探索的欲望.此时，教师可引出著名数学家华罗庚先生的经典诗句：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔家分离万事休.”以启发学生运用数形结合思想解决问题.同时给予学生充分的思考时间.

“瞬时速度→瞬时变化率”：引导学生感悟数学研究方法，利用类比思想得出函數[y=f（x）]在[x=x0]处的瞬时变化率.

通过前面的学习，我们知道平均速度就是函数[h（t）]的平均变化率.瞬时速度就是函数[h（t）]的瞬时变化率.平均速度在[Δt→0]时的极限就是瞬时速度.追问学生：“能否说说，一般情况下，函数的平均变化率与瞬时变化率是怎样的关系？”学生自然而然地得出瞬时变化率.至此，本节课的教学难点得以突破，剩下的就是如何把瞬时变化率和导数结合起来.

这里的“瞬时变化率”其实就是我们所要研究的“导数”.

一般的，函数[y=f（x）]在[x=x0]处的瞬时变化率是[limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx]，我们称它为函数[y=f（x）]在[x=x0]处的导数，记作[f ′（x0）]或[y′|x=x0]，即[f ′（x0）=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx] .

3. “概念深化”抓内涵和外延

“概念深化抓内涵和外延”是本节课的灵魂，直接影响学生能否以更高阶的思维去看问题、想问题.本环节内容“导数”的式子的关键理解可运用文字语言、符号语言和图形语言来进行描述.

教师可以问题“函数[y=f（x）]在[x=x0]处的导数[f ′（x）]由哪些量来构成？”引导学生对[f ′（x）]式子的结构进行思考.

首先我们来看它的结构：这个式子的左边为[limΔx→0]，右边为分式[ΔyΔx]（平均变化率），我们一个个来分析每个量所表达的意思.

（1）“lim”是极限（limit）的缩写，“[limΔx→0]”是极限符号.

（2）“[x0+Δx]”是[x0]附近的任意一个值.

（3）“[ΔyΔx]”是函数[y=f（x）]在[x=x0]附近的平均变化率.

（4）“[Δx=（x0+Δx）-x0]”是自变量的增量，是任意的，可正可负，但不能是0；“[Δy=f（x0+Δx）-f（x0）]”为对应函数值的增量.

（5）[x=x0]时，[f（x0）]是一个确定的数.

（6）用[f（x0）]表示函数[y=f（x）]在[x=x0]处的导数，反映了函数在[x=x0]处变化的快慢.

通过以上分析，学生基本弄清导数是什么.在这个基础上可进一步强化导数的求解步骤.

第一步，确定[x0]附近的任意一个值，一般用“[x0+Δx]”表示.

第二步，求函数的增量[Δy=f（x0+Δx）-f（x0）].

第三步，化简函数值的增量[Δy]与自变量的增量[Δx]的比值.如：

[ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx] .

第四步，在第二步的化简结果中在[Δx→0]取极限，计算结果.

4.“应用探索”抓层次性

教学例1、例2，其中例1强化学生对导数在某点处的求解，例2回应本节课的引入，使学生能够熟悉导数的定义，进一步巩固导数的计算方法.

5.“总结归纳”抓知识建构

本节课由于前面四个环节用时比较多，故“总结归纳”环节这部分的学习时间有限，基本上是蜻蜓点水式地小结，没能为后续的学习（导数的几何意义）做铺垫.很是遗憾.在“总结归纳”环节理应主抓学生的知识建构.

本节课的教学还有很多需要改进的地方，后续还要进一步地研究.

（特约编辑 安 平）