对高中数学 “问题链”设计的几点认识

王宗艳

[摘 要]运用案例法，从“由浅及深，避免肤浅提问”“聚焦链接，避免问题离散”“围绕重难点，避免远离关键”三个方面探讨“问题链”的设计，以激活学生思维，培养学生探究能力，让数学教学更有效.

[关键词]问题链；高中数学；由浅及深；聚集链接；围绕重难点

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）32-0023-02

“问题是数学的心脏”，在数学教学中，问题常常以“问题链”的形式呈现.“问题链”是指以构建数学问题为主线，把讲授内容设计成若干个教学问题或将一个综合性大问题分割成若干个小问题，形成以逻辑链条为特征的问题组合.“问题链”的设计对一堂课的质量起到了关键性的作用.有效的“问题链”能活跃课堂气氛，激活学生思维，培养学生的探究能力.那么，高中数学“问题链”该如何设计呢？

一、由浅及深，避免肤浅提问

一个有效的课堂提问导入，不仅能起到承上启下的作用，而且可以把学生带入问题情境，让他们带着问题学习新知识.对于问题的设计，教师应注重“双主体原则”，即要考虑学生的现有知识水平，不可以超纲，但也不要太过于简单，以致缺乏层次性，达不到启发学生思维的效果.可见，数学“问题链”的设计，也应具有分层教学的特征，从简单出发，向思维的深度进军！

【案例1】 在《对数函数的图像和性质》教学中，教师设计问题链如下：

问题1：试作出y=log2 x和y=[log12x]的图像.（提示： 它们的图像如右图所示.）

问题2：两图像与x轴交点坐标是什么？[提示：交点坐标为（1，0）.]

问题3：两函数的单调性如何？（提示：y=log2 x是增函数，y=[log12x]是减函数.）

问题4：函数y=2x与y=log2 x的图像有什么关系？它们的定义域、值域有什么关系？（提示：图像关于直线y=x对称，定义域和值域互换.）

问题5：请从多个角度总结对数函数y=loga x（a>0且a≠1）与指数函数y = ax之间的关系，允许互相探讨.（提示：（1）对数函数y=loga x（a>0且a≠1）和指数函数y = ax互为反函数.（2）底数a与1的大小关系决定了对数函数图像的“升降”：当a>1时，对数函数的图像“上升”；当01还是0

上述五个问题由简单到复杂，由特殊到一般，由形象到抽象，层层递进，能让学生在不知不觉中从已学的知识转向未学的新知，尤其是问题5，属于发散性问题，既是本节课的重点，又能将学生的思维推向高潮，实现了思维的飞跃，达到了“随风潜入夜，润物细无声”的教学效果.

二、聚焦链接，避免问题离散

数学是一门逻辑性极强的学科.“问题链”中的问题，一旦设计得松散，缺乏链接，逻辑性不强，往往达不到数学教学核心目标.作为数学教师，既要强调数学知识记忆，更要凸现思维训练，体现数学思维的逻辑性和递增性.因此，“问题链”的设计一定要符合学生的认知水平和规律，层层相扣，由浅及深、由易到难，处处呈现问题间连接与递进的逻辑关系.

【案例2】 教师甲和教师乙上的同课异构课，教学内容是选修2-3《排列》，在课上两位教师分别设计了有关排列解法的“问题链”.

教师甲设计的“问题链”：已知有6人按下列要求站成一横排.

问题1：6人随意排，问有多少种排法？

问题2 ：其中甲、乙相邻，问有多少种排法？

问题3：其中甲、乙不相邻，问有多少种排法？

问题4 ：其中甲、乙相邻，但甲、乙都不与丙相邻，问有多少种排法？

问题5 ：甲与乙之间只站2人，问有多少种排法？

问题6：甲、乙、丙3人按从左到右的顺序排（可以不相邻），问有多少种排法？

教师乙设计的“问题链”：

1.二次函数y = ax2+bx+c的系数a，b，c互不相等，它们都在集合{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3}中取值.

问题（1）：开口向上的抛物线有多少条？

问题（2）：过原点的抛物线有多少条？

问题（3）：原点在抛物线内的抛物线有多少条？

2.从1到9这9个数字中取出5个进行排列.

问题（1）： 奇数位置上是奇数的有多少个？

问题（2）：取出的奇数必须排在奇数位置上的有多少个？

由上不难看出，教师甲的设计优于教师乙的设计.一是教师甲是对同一个问题进行讨论，环环相扣；而教师乙设计了两个问题，给人以零散的感觉；二是教师甲设计的6个问题有层次感，可引导学生思维逐渐攀升，且涵盖了排列问题的几乎所有解法，可谓“一题打遍天下”；而教师乙设计的问题都是在同一层次上的反复，体现不出解法的普遍性和多样性.因此，教师在设计“问题链”时，应遵循承上启下、环环相扣、一线相连等规律，切不可“天女散花”，星星点点，毫无头绪.

三、围绕重难点，避免远离关键

在数学教学中，“问题链”如果指向不到位，远离关键问题，会直接影响学生对学习难点的突破.因此，教师在设计“问题链”时要围绕重难点知识，体现问题的核心.

【案例3】 《基本不等式》的教学重点是基本不等式的灵活应用.为此，笔者围绕此重点设计了如下利用基本不等式求最值的“问题链”.

问题1：已知[a>0]，[b>0]，[a+b=1]，则[1a] + [1b]的最小值为________.

问题2 ：已知[a>0]，[b>0]，[1a] + [1b]=4，则a+b的最小值为________.

问题3：已知[a>0]，[b>0]，a+2b=3，则 [2a]+ [1b]的最小值为________.

问题4：设a>0，b>1，若a+b=2，则[2a] + [1b-1]的最小值为________.

问题5： 已知第一象限的点（a，b）在直线2x+3y-1=0上，则代数式[2a] + [3b]的最小值为________.

问题6：设x，y满足约束条件[3x-y-6≤0，x-y+2≥0，x≥0，y≥0.]若目标函数z=ax+by（[a>]0，[b>]0）的最大值为12，则[2a] + [3b]的最小值为________.

问题7：设二次函数f （x）=ax2 - 4x + c（x∈R）的值域为[0，+∞），则[1c+1] + [9a+9]的最大值为________.

上述7个问题从单一的知识应用开始，不断递进式地改变问题的条件，不断扩大知识的应用范围，最终走向综合问题的解决.这种类似变式问题的“问题链”，始终紧紧围绕“基本不等式的应用”这个中心，让学生感悟到利用基本不等式求最值的方法及注意点：（1）知和求积的最值：求解此类问題的关键为明确“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点：①具备条件“正数”；②验证等号成立.（2）知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件.（3）构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”替换的方法，构造不等式求解.（4）利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数（或式）均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可.

总之，好的问题，需要教师去发现，更需要教师去精心设计.这就要求教师深刻领会教材，立足新课标，准确把握教学大纲和教学目标，熟知学生的现有认知水平.只有这样，设计出的“问题链”，才具有针对性、启发性和层次性，才能明确指向教学重点，从而避免教学的盲目性和随意性，让数学教学更有效.

（责任编辑 黄春香）