Kelly准则下的组合选择策略及其经验证据

张聪

〔摘 要〕 作为最大化博彩或投资长期收益预期的一种方法，Kelly准则受到众多博彩者和投资者的广泛关注，但是在组合最优化问题研究的文献中却对Kelly准则没有给予充分的探讨。本文在对Kelly准则下组合选择进行理论分析的基础上，用中国A股市场部分指数对Kelly组合选择问题进行了经验分析。研究结果表明，全局Kelly组合策略在中国A股市场中可以提高投资者的资产长期增长率，据之进行组合管理是有利可图的;全局Kelly组合策略的额外回报源于其对杠杆和卖空手段的使用;常用的四种局部Kelly组合构建方法或多或少地存在一定问题，投资者应用时须注意;带有约束条件的最优化方法是无杠杆和卖空限制条件下局部Kelly组合构建的合适方法，它能够显著提高资产的预期长期增长;经动态调整的有约束条件下最优化方法是构建局部Kelly组合的最佳方法，尤其是用于随市场波动特征变化而进行动态调整时其效果更佳。

〔关键词〕 Kelly准则;Kelly组合;组合管理;动态调整

中图分类号 ：F224   文献标识码 ：A   文章编号 ： 1008- 4096（2018）06-0095-10

一、引 言

与Markowitz均值-方差准则不同，Kelly准则关注的是投资者资产长期的增长，投资者依据其资产长期增长的高低来判断资产的优劣或选择组合的构建，即在追求财资产期增长最大化的目标下构建投资组合。Kelly  [1] 通过研究博彩者在追求资产长期增长最大化的目标下如何选择投注而提出Kelly最优投注比例。其研究结果显示，在一个可以进行无限次投注的博彩游戏中，博彩者每次按其财富的某一比率（被称之为最优投注比率）进行投注，可以使得自己的资产长期增长最大化。当然，该模型的假设是博彩者的资产是无限可分的，且所有资产（包括本金和利润）都可以用于博彩游戏。

Thorp [2] 将Kelly准则及其公式应用到股票市场，考察股票市场中的最优投资比率或最优仓位。后续的相关研究大多是围绕目标函数的扩展和最优仓位的检验展开。在目标函数扩展方面，Samuelson  [3] 用幂效用函数取代最大化资产长期增长的目标函数分析最优仓位，Hakanson  [4] 扩展到正幂效用函数、负幂效用函数、对数效用函数和指数效用函数四种效用函数。在经验分析方面，Samuelson  [5] 发现从长期看采用最优仓位策略的基金经理将获得更多的资产增长，Rotando和Thorp  [6] 发现Kelly最优仓位策略用于标普500指数具有相对比较优势，MacLean等  [7]  基于其研究结果认为Kelly最优仓位策略优于其它策略，Anderson和Faff  [8] 基于高频期货数据的回测和检验结果显示Kelly最优仓位策略在期货交易中的作用非常重要。

尽管Kelly准则及其组合策略有很多优点，也被很多博彩者和投资者广泛关注，但是在组合管理者之中却很少使用这种方法。这可能是因为组合管理者关注于多变量，而学术文献中关于Kelly准则的探讨绝大多数是单变量的。Maslov和Zhang  [9] 在考察单项风险资产最优投资策略的基础上，将单项风险资产最优投资策略扩展到多项风险资产最优投资组合，得到与单项资产形式类似的结果。Medo等  [10] 考察了相互独立的多项资产情形，结果显示在不超过5项资产的情形下，能够得出最优仓位的解析解，若超过5项资产，只能采用数值方法近似求解。Medo和Zhang  [11]  考察了存在相关性的多项资产情形，结果发现，组合中风险资产之间的正相关会导致组合中资产的配置比例相应减少。Rising和Wyner  [12] 從理论上证明，估计出的局部Kelly组合与减缩估计量之间存在很强的联系，利用减缩估计量可以确定局部Kelly组合参数的最优值，进而能够找到一个最优的局部Kelly组合。Nekrasov  [13] 提出了一种简单蒙特卡洛探索算法（Grope Algorithm）的数值计算方法，对无杠杆和无卖空约束条件下局部Kelly组合策略进行了研究，并利用统一计算设备架构（Compute Unified Device Architecture，CUDA）下图形处理器（Graphics Processing Unit，GPU），对DAX指数中7只成分股构成的组合进行了测试。Peterson  [14] 通过引入一个风险参数，将风险和收益合并成一个单一目标函数，在此基础上，他证明Kelly准则成为组合最优化模型的一个去偶问题（Decoupled Problem）。并提出使用差分演进算法求解组合最优化问题，经验结果显示差分演进算法可以成功地估计出Kelly组合。Cao等  [15] 基于对高波动使用额外惩罚的思路，提出一个多变量波动规制Kelly组合策略（MVRK策略），构建了相应的目标函数，并给出了解析解。模拟结果和经验分析结果显示，相对于全局Kelly组合策略和局部Kelly组合策略，MVRK策略在低相关性资产中具有优势。研究者们认为，MVRK策略降低了短期风险，但是没有牺牲投资增长率。

经过仔细梳理，本文发现在已有关于Kelly组合的研究中存在一些问题。Maslov和Zhang  [9] 给出了多变量Kelly组合的一般方法，但是却只有不相关资产的计算公式。虽然Laureti等  [16] 做了进一步的分析，从理论上给出了相关性资产情形下的计算公式，但是也只是在附录中做出简单描述，并没有说明具体采用什么方法来解多变量局部Kelly组合的最优化问题。Rising和Wyner  [12] 假设组合方差近似等于其二阶矩（非中心矩），这在资产预期收益较大时是不成立的。而且其将局部Kelly策略解释为风险资产部分等比例降低份额，这可能在资产收益非联合高斯分布的情况下是次优的。此外，上述三个研究中都没有分析采用泰勒级数逼近的Kelly组合投资比例的近似质量。

国内基于Kelly准则进行组合管理的研究相对较少。凌士勤 [17] 提出了基于VaR及Kelly增长体系的“基于最优增长路径的增长-安全模型”，并在离散条件下，用基于情景分析的方法考察了模型的实用效果，他认为该模型可作为用于投资活动的一种实践工具。罗勇 [18] 基于Kelly准则，建立了风险约束下的Kelly动态投资组合模型，采用理论模型和经验分析研究了在最大资金衰落与交易成本约束下的基金资产动态最优增长问题。

综上所述，本文认为现有的相关研究存在三个不足：第一，对Kelly组合策略的回测与检验较少，缺乏对中国A股市场的检验。众所周知，关于Kelly组合理论模型中的假设与现实并不完全一致，无论是全局Kelly组合策略还是局部Kelly组合策略其实践效果不得而知。第二，关于全局Kelly组合和局部Kelly组合构建的几种方法之间的优劣比较缺乏经验证据的支持，是否有适用于中国A股市场中Kelly组合构建方法需要回测与检验。第三，缺少关于Kelly组合动态调整的研究。鉴于此，本文尝试采用中国A股部分指数对Kelly组合（包括全局Kelly组合和局部Kelly组合）管理策略进行回测与检验，比较几种最新的Kelly组合构建方法，在此基础上寻求更好的Kelly组合构建方法。

二、Kelly准则下组合选择的理论分析

（一）Kelly准则与Kelly公式

Kelly准则关注的是财富长期增长，投资者根据财富长期增长的高低来判断或选择，即在追求财富长期增长最大化的目标下构建投资组合。假設投资者的初始财富为W  0 ，T期期末财富为W  T ，则投资者财富的预期长期指数增长率为：

g= lim   T→SymboleB@  E[ 1 T ln  W   T   W   0  ] （1）

投资者基于最大化预期长期指数增长率g来进行投资比例选择或投资组合选择。与Markowitz均值-方差准则相比，Kelly准则只有最大化财富的长期增长率一个目标，而Markowitz均值-方差准则既要最大化预期收益率、又要最小化收益率的方差。另外，Kelly准则关注的是长期投资的总体绩效，而Markowitz均值-方差准则关注的则是投资的单期绩效。

假设某投资者在每个投资期内可以将其财富的一部分投入到一项风险资产中，投资比例（之后本文称之为仓位）设为f，若该项资产在未来一期内的收益率为R，则投资者T期期末财富为

本文不考虑将剩余财富投资于无风险资产，即除了风险资产之外，剩余的财富就是现金。 ：

W T= 1-f  W   0 +f W   0  1+R =（1+fR） W   0  （2）

如果假设不同投资期内该项资产的收益率R是独立同分布的，且每期的投资比例f保持不变，那么T期期末投资者的财富为：

W   T = （1+fR）T  W   0  （3）

将式（3）带入式（1），可得：

g=E ln 1+fR   （4）

根据泰勒公式ln 1+x =x- 1 2  x2 +o（ x3 ） ，用二阶多项式逼近对数函数，可得：

g=E ln 1+fR  =E[fR- 1 2  f2  R2 ] （5）

最大化财富的预期长期指数增长率g，由式（5）可以得到其必要条件：

g f =E R -fE  R2  =0 （6）

求解式（6），可得最优投资比例为：

f* = E（R） E（R2） = E（R） D（R）+ [E（R）]2   （7）

其中，E（R）和D（R）分别表示预期收益率R的均值和方差。

如果假设预期收益率R独立同分布于两点分布（1，-1; p，1-p），那么很容易根据式（7）计算出最优投资比例为：

f* =2p-1 （8）

式（8）就是著名的Kelly公式的最简单形式。

如果资产是股票，假设其价格波动S  t 遵循几何布朗运动，即满足以下随机微分方程：

d S   t =μ S   t dt+σ S   t d z   t  （9）

其中，SymbolmA@表示价格漂移，SymbolsA@表示价格波动，z  t 表示维纳过程，独立同分布于均值为0、方差为 dt的正态分布。

给定初始值S  0 ，根据伊藤积分，随机微分方程式（9）有如下解：

S   t = S   0  e  μ- 1 2  σ2  t+σ z   t    （10）

由式（10）可见，股票价格服从对数正态分布，其均值和方差计算得出：

E（ S   t ）= S   0 e μt  （11）

D（ S   t ）=S2 0e 2μt （e σ2t -1） （12）

由式（11）和式（12），很容易得到股票收益率的均值和方差分别为：

E R =E   S  t  S  0 -1 =e μt -1 （13）

D R =D   S  t  S  0 -1 =e 2μt （e σ2t -1） （14）

把式（13）和式（14）带入式（7），可以得出股票价格波动S  t 遵循几何布朗運动情形下的最优投资比例：

f* = e μt -1 1+e （2μ+ σ2 ）t -2e μt   （15）

当SymbolmA@和SymbolsA@很小的时候，有：

f* = μ  σ2   （16）

式（16）即是股票价格波动遵循几何布朗运动情形下最优投资比例的标准形式。

（二）扩展模型：连续分布情形下多项资产组合选择

本文将上述模型由一项资产扩展到多项资产组合，假设该资产组合由N项风险资产组成，第i项资产在不同投资期内的收益率R  i 是独立同分布的，同一投资期内不同资产的收益率之间是可以相关的，投资者投资于第i项资产的投资比例f  i 固定不变，那么T期期末投资者的财富为W  T 为：

W   T = （1+∑  N   i=1   f   i  R   i ）T  W   0  （17）

将式（17）带入式（1），则最大化投资者的资产长期指数增长率为：

g=E ln 1+∑  N   i=1   f   i  R   i    （18）

根据泰勒公式ln 1+x =x- 1 2  x2 +o（ x3 ） ，用二阶多项式逼近对数函数，可得：

g=E ln 1+∑  N   i=1   f   i  R   i   =E[∑  N   i=1   f   i  R   i - 1 2   ∑  N   i=1   f   i  R   i  2 ] （19）

最大化财富的预期长期指数增长率g，由式（5）可以得到其必要条件：

gf   i  =E  R   i  -∑  N   j=1   f   j  E（R   i  R   j ）=0

i=1，2，…，N （20）

将式（20）表示的N个方程联立求解，可得最优投资比例为：

f* =∑ -1 μ （21）

其中，f * 表示各项资产投资比例的列向量，∑ -1 表示1+1阶混合原点矩矩阵∑的逆矩阵，∑的第i行第j列元素为 E（R   i  R   j ），μ表示各项资产收益率的均值的列向量，μ的第i行元素为 E（R  i ） 。

需要注意的是，混合原点矩矩阵∑不是协方差逆矩阵，它与协方差逆矩阵SymbolWA@的关系如下：

∑=Ω+μμ′ （22）

最优投资比例的计算公式（21）的向量形式可以表示如下：

f*   1    f*   N   =    E（R   1  R   1 ） …  E（R   1  R   N ）   E（R   N  R   1 ） …  E（R   N  R   N ）   -1    E（ R   1 ）E（ R   N ）    （23）

对比式（23）与式（7），很容易看出，式（7）是式（23）的一个特例，这说明单项资产情形和多项资产情形下最优投资比例的计算公式是一致的。

需要说明的是，最优仓位的计算公式建立在不同时期的投资收益是独立同分布的，且每期的仓位是固定的。实践中很多经验证据显示股票收益具有均值回复特点，且股价波动具有聚集效应，即股价波动在一段时期内较小而下一段时期较大，周而复始。

三、最优组合投资比例的估计与检验：来自中国A股指数的证据

（一）最优组合投资比例及其收益率测算

本文选择中国A股市场中七个主要指数对最优组合投资比例进行回测和检验，这七个指数分别是沪深300指数（000300）、上证指数（999999）、上证50指数（000016）、上证180指数（000010）、深圳成指（399001）、中小板指数（399005）和创业板指数（399006）。之所以选择指数进行回测和检验，是因为指数收益率相对于个股收益率更接近正态分布，这一结果获得许多经验证据支持，同时也是由于部分指数可以通过相关的衍生产品进行杠杆交易或做空交易。所有七个股票指数的样本区间从其指数设立开始至2018年8月24日。

首先，本文基于这七个股票指数并按照指数中涵盖股票不重复的原则，构建九个资产组：资产组A由上证指数和深圳成指构成，资产组B由上证180指数和深圳成指构成，资产组C由上证50指数和深圳成指构成，资产组D由上证指数、中小板指数和创业板指数构成，资产组E由上证180指数、中小板指数和创业板指数构成，资产组F由上证50指数、中小板指数和创业板指数构成，资产组G由上证指数、深圳成指、中小板指数和创业板指数构成，资产组H由上证180指数、深圳成指、中小板指数和创业板指数构成，资产组I由上证50指数、深圳成指、中小板指数和创业板指数构成。

其次，由于七个指数设立时间的不同，所以在做回测检验时九个资产组的样本区间可能不同，这主要取决于资产组中指数的历史数据的长度。如资产组A中的两个指数上证指数和深圳成指设立相对较早，其样本区间为1991年4月5日至2018年8月24日，而资产组I中由于创业板指数设立较晚，其样本区间为2010年6月4日至2018年8月24日。

最后，本文根据式（22）和式（23）估计每个资产组中各指数资产的最优投资比例。具体步骤如下：第一，计算每个资产组中所有指数的平均收益率及其协方差矩阵。第二，计算出混合原点矩矩阵及其逆矩阵。第三，计算资产组中各指数资产的最优投资比例。计算结果如表1所示。

由表1可知，第一，Kelly组合中各指数的投资比例在-7.0797到5.6860之间，不完全在区间[0，1]之内，且有正有负，这说明，要想获取股票指数投资的最优长期增长，投资者必须利用杠杆交易和卖空交易。第二，所有九个指数资产组中Kelly组合的总收益率（周均收益率）均高于该区间内各指数的买入持有总收益率（周均收益率），如由上证指数和深圳成指构成的资产组A中，Kelly组合的总收益率为234.8923%，对应于该投资区间内上证指数和深圳成指的总收益率分别为203.4015%和163.6037%，Kelly组合收益率大于其组合中各指数资产的收益率。这表明，Kelly组合能够让

投资指数的长期收益超过单一指数的简单被动买入持有收益。当然，这是在承担了较大风险的前担下获得的，因为Kelly组合中各指数资产的投资比例不在区间[0，1]之内。第三，从资产组A到资产組I，Kelly组合的周均收益率明显呈递增趋势，这与其表现出的杠杆率和卖空比例走高正相关。

需要说明的是，上述经验结果没有考虑交易成本，因而部分结果在投资实践中的效果有待进一步考察。

（二）Kelly组合的优劣分析

从表1中的结果只能得出根据式（23）计算出的Kelly组合能够让投资指数的长期收益超过简单被动的买入持有收益，但是并不能说明Kelly组合就是最大化长期收益目标下的最优组合，因为本文并没有证明Kelly组合的收益率高于其它组合的收益率。

本文采用模拟方法在Kelly组合的投资比例附近进行搜索，考察Kelly组合的周均收益率是否高于其它组合的周均收益率，如果Kelly组合的周均收益率均高于其它组合的周均收益率，则证明Kelly组合是最优组合，否则不是。

为此，本文对前三个资产组（A—C）分别围绕估计出的Kelly组合的投资比例，以步长0.0200向前向后各选择100个投资比例，共计算10 200个不同投资比例下的周均收益率，找出周均收益率最大的模拟组合;对中间三个资产组（D—F）分别围绕估计出的Kelly组合的投资比例，以步长0.0200向前向后各选择100个投资比例，共计算1030 300个不同投资比例下的周均收益率，找出周均收益率最大的模拟组合;对后三个资产组（G—I）分别围绕估计出的Kelly组合的投资比例，以步长0.0200向前向后各选择50个投资比例，共计算6765 200个不同投资比例下的周均收益率，找出周均收益率最大的模拟组合。对于每个组合，本文比较Kelly组合与模拟组合的周均收益率，用以判断Kelly组合是否为最大化长期收益目标下的最优组合。具体测算结果如表2所示。

由表2可知，九个资产组中所有Kelly组合的周均收益率均与其附近最优模拟组合的周均收益率相等或非常接近，这表明，本文估计出Kelly组合为最大化长期收益目标下的最优组合，具有相对较强的长期收益优势。

四、局部Kelly组合的估计方法及其经验证据

前文对Kelly组合投资比例估计与检验中并没有考虑任何约束条件，即所估计出的Kelly组合是全部Kelly组合（full Kelly portfolio），考虑到全部Kelly组合存在波动率高、回撤幅度大的高风险特征以及换手率高、价格冲击度大的高交易成本问题，一些研究提出采用局部Kelly组合（partial/fractional Kelly portfolio）。在此，本文先分别采用拉格朗日乘子法（MZ法）、减缩估计量法（RW法）、波动率调整法（CLWZ法）和探索算法（N法）对局部Kelly组合及其收益进行估计和回测，之后再采用有约束条件的最优化方法估计Kelly组合及其收益，并考察其动态调整的影响。

（一）四种局部Kelly组合的估计方法

1.拉格朗日乘子法（MZ法）

Maslov和Zhang [9] 在考察单项风险资产最优投资策略的基础上，将单项风险资产最优投资策略扩展到多项风险资产最优投资组合，得到与单项资产形式类似的结果。假设组合中各风险资产价格变动遵循多维几何布朗运动，推导得出无约束条件下计算最优投资组合中各风险资产投资比例的一般公式。进一步地，Maslov和Zhang简单讨论了在不允许卖空和总投资比例小于1的约束条件下各风险资产收益互不相关情形下Kelly组合投资比例的确定问题，并提出采用拉格朗日乘子方法进行估计的思路。其得出的局部Kelly组合估计公式如下：

f* i= E  R   i  -λ D  R   i  + [E  R   i  ]2  θ  E  R   i  -λ D  R   i  + [E  R   i  ]2    （24）

其中，f* i表示第i项风险资产的最优投资比例，SymbollA@表示拉格朗日乘子，θ（x）表示赫维赛德阶跃函数（Heavyside step function），θ x = d dx max {x，0}。

拉格朗日乘子SymbollA@可以通过解下式求得：

∑ N i=1  E R i -λ D R i +[E R i ]2 θ  E R i -λ D R i +[E R i ]2  =1 （25）

2.减缩估计量法（RW法）

Rising和Wyner [12] 从理论上证明估计出的近似局部Kelly组合与减缩估计量之间存在很强的联系，利用减缩估计量可以确定局部Kelly组合参数的最优值，进而能够找到一个最优的局部Kelly组合。Rising和Wyner认为，该最优局部Kelly组合之所以成功，并不是因为降低了组合的风险，而是因为降低了估计误差。其模拟结果证实了这一结论。不考虑无风险收益，其局部Kelly组合的比例系数估计如下：

α* = tr  Σ  ︿   tr  Σ  ︿  + μ ︿  2 2  （26）

其中， α* 表示局部Kelly组合的比例系数，tr  Σ  ︿  表示协方差矩阵 Σ  ︿ 的迹，即协方差矩阵对角线元素之和;  μ  ︿  2 2表示风险资产收益向量范数的平方，即向量各元素的平方和。

由此，局部Kelly组合的投资比例可以计算如下：

f* =（1- α* ）∑ ︿   -1   （27）

其中， f* 表示局部Kelly组合的最优投资比例向量。

3.探索算法（N法）

Nekrasov [13] 提出了一种简单蒙特卡洛探索算法（grope algorithm）的数值计算方法对无杠杆和无卖空约束条件下局部Kelly组合策略，并利用统一计算设备架构（Compute Unified Device Architecture，CUDA）下图形处理器（Graphics Processing Unit，GPU），对DAX指数中7只成分股构成的组合进行了测试，结果显示探索算法的估计与回测效果很好。

4.波动率调整法（CLWZ法）

Cao等 [15] 基于对高波动使用额外惩罚的思路，提出一个多变量波动规制Kelly组合策略（MVRK策略），构建了相应的目标函数，并给出了解析解。模拟结果和经验分析结果显示，相对于全部Kelly组合策略和局部Kelly组合策略，MVRK策略在低相关性资产中具有优势。Cao等认为，MVRK策略降低了短期风险，但是没有牺牲投资增长率。其局部Kelly组合最优投资比例的估计公式如下：

f* =（∑+θdiag（∑）） -1  （28）

其中， f* 表示局部Kelly組合的最优投资比例向量， 表示各资产收益的协方差矩阵， diag（∑） 表示协方差矩阵的对角线矩阵，θ表示投资者的风险回避程度。

（二）有约束条件的最优化方法

考虑到上述四种方法存在的问题，本文尝试直接采用有约束条件的最优化方法。根据式（19），在无杠杆和卖空的约束条件下，本文直接最大化预期长期增长率的近似值就可得到Kelly组合的最优投资比例，即求解如下最优化问题：

max    f   i   g=∑  N   i=1   f   i E  R   i  - 1 2 ∑  N   i=1  ∑  N   j=1   f   i  f   j E  R   i  R   j   （29）

s.t.∑  N   i=1   f   i ≤1

0≤ f   i ≤1  i=1，2，…，N

其中，第1行为目标函数，最大化预期长期增长率的近似值，下方行为约束条件，分别表示不加杠杆和不能卖空。

（三）估计结果与分析

根据上面的计算公式，本文采用MZ法、RW法、CLWZ法、N法、约束条件下最优化法和动态调整的最优化法对局部Kelly组合的最优投资比例进行估计，结果如表3所示。

由表3可知，第一，拉格朗日乘子法能够保证Kelly组合的投资比例满足无杠杆和卖空限制条件，但是其组合总收益率多数情况下不及组合中单个资产的最高收益，这说明分散风险的结果会带来组合收益率的下降。第二，减缩估计量法不能保证Kelly组合的投资比例满足无杠杆和卖空限制条件，仅仅是对全部Kelly组合的一个整体仓位下降。第三，波动率调整法也不能保证Kelly组合的投资比例满足无杠杆和卖空限制条件，但是波动率调整法在资产收益波动较大的情况下相对于拉格朗日乘子法有显著改善，特别是在资产组G至I中改善效果尤其明显。第四，探索算法和最优化方法计算得出的Kelly组合投资比例及其总收益基本一致，其主要原因是两种方法都是在限定的无杠杆和卖空条件下的最优结果。然而，由于探索算法相对于最优化方法需要大量的计算，本文认为有约束条件下的最优化方法更为方便和可靠。

以上本文對最优投资比例的估计与检验中，采用的是固定投资比例的方法，即整个样本区间内Kelly组合的投资比例是固定的，但这可能会引起前视偏差（look-ahead bias），在实践中是行不通的。因此，实际操作中必须根据可获取的相关数据及其判断，采取动态调整组合的投资比例的管理策略进行仓位管理。为此，针对有约束条件下的最优化方法，根据波动率有周期波动的特点，本文用前50周的样本数据估计模型参数，然后利用估计出的参数计算Kelly组合投资比例，据此对每个组合投资比例进行动态调整。计算结果列于表4的最后两列。

表4最后两列的结果显示，与采用有约束条件的最优化方法得到的结果相比，动态调整的最优化方法具有显著优势，在9个资产组中仅有一个其收益率略有降低，其余8个资产组的收益率显著提高。这表明，使用有约束条件下的最优化方法需要根据市场波动情况进行动态调整，当然在实践中需要进一步分析市场波动特征并测算动态调整的时间周期。

五、结论与建议

基于Kelly公式及其扩展模型，本文在Kelly组合构建理论模型分析的基础上，用中国A股市场7个主要指数（沪深300指数、上证指数、上证50指数、上证180指数、深圳成指、中小板指数和创业板指数）组成的9个资产组对Kelly组合投资比例估计进行了经验分析。研究结果表明：

第一，模型分析和经验检验均显示，全部Kelly组合策略相对于一般组合策略有明显的高资产预期长期增长率，为最大化资产预期长期增长率目标下的最优投资组合。这表明，采用杠杆和卖空手段可以在中国A股市场中提高资产的预期长期增长率，全部Kelly组合策略是有利可图的。当然，由于使用了杠杆和卖空手段，全部Kelly组合策略的风险会明显提高。

第二，四种常用的局部Kelly组合投资比例估计方法均存在一定问题，不是构建局部Kelly组合的好办法。减缩估计量法和波动率调整法均不能保证Kelly组合的投资比例满足无杠杆和卖空限制条件，拉格朗日乘子法和探索算法虽然能够保证Kelly组合的投资比例满足无杠杆和卖空限制条件，但是拉格朗日乘子法估计出的Kelly组合其总收益率多数情况下不及组合中单个资产的最高收益，且探索算法在组合中资产个数较多时需要大量的计算。

第三，有约束条件下的最优化方法在实践中更为方便和可靠，根据市场波动情况进行动态调整的有约束条件下最优化方法为构建局部Kelly组合的最佳方法，但在实践中需要进一步分析市场波动特征并测算动态调整的时间周期。需要注意的是，由于中国A股市场仍然处于结构变化和逐渐完善之中，投资理念、投资方法和投资者情绪亦在发展变化之中，这种情况下估计出一个具有较好实际效果的最优Kelly组合是较为困难的，因而必须要根据市场波动规律的变化调整Kelly组合投资比例的估计值。

参考文献：

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