剪切变形对基桩PΔ效应的影响

李微哲　娄平

摘要：

给出了小剪切变形下的基桩PΔ效应和大剪切变形下支座PΔ效应计算的杆单元刚度矩阵方程。假定杆单元弯曲变形位移函数为三次幂函数，剪切变形函数为线性函数，根据有限元法一般原理，推导了一种同时计入竖向力径向剪切分力剪切变形和水平力剪切变形的PΔ效应杆单元刚度方程，推导了一种仅计入竖向力径向剪切分力剪切变形而忽略水平力剪切变形的PΔ效应杆单元刚度方程，推导了一种仅计入水平力剪切变形而忽略竖向力径向剪切分力剪切变形的PΔ效应杆单元刚度方程。计入水平力剪切变形而忽略竖向力径向剪切分力剪切变形的PΔ效应杆单元可良好的模拟支座在大剪切变形下的偏心工作特性，能实时计入其偏心弯矩影响，为实时计入支座偏心特性的结构动静力分析提供了理论支撑。最后通过自编MATLAB程序进行算例分析，结果表明，计入支座大剪切变下的PΔ效应后，基桩内力位移和地基土压力均显著增大。基桩自身剪切变形对桩身内力位移和地基土压力影响较小，可以忽略。

关键词：基桩；支座；水平力剪切变形；竖向力径向剪切分力；PΔ效应；有限杆单元法

中图分类号：TU470

文献标志码：A文章编号：16744764（2016）06006210

Abstract：Finite pole element method is presented for PΔ effect analysis of pile and bearing while shear deformation is well considered. It is assumed that horizontal displacement of the pole element has a longitudinally cubic power function and the shear displacement has a longitudinally linear function， the PΔ effect pole element rigid equation considering the shear deformation produced by lateral load and the radial component of vertical load， is derived. The PΔ effect pole element rigid equation considering the shear deformation only produced by lateral load is derived in the paper. The PΔ effect pole element rigid equation considering the shear deformation only produced by the radial component of vertical load， is derived in the paper. And the PΔ effect pole element considering the shear deformation only produced by lateral load can simulate the bearing working eccentrically well in realtime. Matlab process of finite pole element method for PΔ effect analysis of pile and bearing is edited， and case analysis is done， and the theory and the method is proved good. Finally conclusions are drawn as follows： （i） the PΔ effect analysis result of pile will increase obviously while the eccentric bending moment of the bearing is well considered； （ii） the deformation has little effect on the PΔ effect analysis result of the pile and bearing.

Keywords：

pile； bearing； lateral shear deformation； radial component of vertical load； PΔ effect； finite pole element method

倾斜荷载下的基桩，不仅水平力产生剪切变形，竖向力因转角产生径向剪切分力也将产生剪切变形。桩顶支座大剪切变形下的PΔ效应极显著，不容忽略。目前，计入剪切变形的基桩PΔ效应计算的有杆单元法尚似未见报道。而弹簧、刚臂或等效偏心弯矩均难实时模拟支座大剪切变形下的PΔ效应。因此研究计入小剪切变形下的基桩PΔ效应和大剪切变形下支座PΔ效应计算方法具有实际意义。

目前基桩PΔ效应计算分析方法较多，可分为解析解法和有限元法两大类。线弹性土中基桩PΔ效应静力计算解析解，主要有m法假定的幂级数解[1]，C法（张氏法）假定的解析解[23]，以及 （mz+C）法假定的幂级数解[4]。随后栾鲁宝等[5]给出了粘弹性土中考虑PΔ效应时基桩水平振动的解析解答。赵明华等[6]提出应用有限元-有限层法进行基桩PΔ效应计算。在有限杆元法中，通过附加几何刚度矩阵来考虑PΔ效应。常用的杆单元几何刚度矩阵为线性近似的几何刚度矩阵或一致几何刚度矩阵。但因假定和推导过程差异，几何刚度矩阵形式较多。王用中等 [7]、赵明华等[8，10]、夏拥军等[9]均给出了不同形式的PΔ效应杆单元刚度矩阵方程。梁仁杰等[11]提出用白噪声扫描的手段，结合数值计算的方法，求解结构考虑 PΔ 效应时的模态参数，并研究了PΔ 效应对结构动力特性影响。李刚等[12]应用有限杆单元法对结构PΔ效应动力分析，认为PΔ效应将降低结构抗震能力。耿江玮等[13]对考虑材料非线性和PΔ效应的非规则连续梁桥进行地震反应分析，魏标等[14]重点研究了支座布置对不等高墩非规则连续梁桥地震响应的影响，张志俊等[15]进行了弹性支座对桥梁车致振动的隔振效果研究，以上学者均用弹簧或弹簧阻尼单元模拟桥梁支座，忽略了支座的偏心弯矩效应。马长飞等[16]、刘彦辉等[17]通过构造水平力偶代替支座偏心弯矩，应用有限杆单元法对上下部结构和隔震支座进行了地震反应分析，虽考了了支座偏心弯矩效应，但求解较复杂，通用性不足。孟凡濤等[18]综合考虑剪切变形和梁柱节点连接半刚性影响的基础上，给出了框架柱的抗侧移刚度公式，认为剪切变形对框架结构的 PΔ 效应影响显著，已超出工程上可接受的 5%的误差范围。endprint

本文将假定杆单元剪切变形和弯曲变形的位移模式，推导小剪切变形下的PΔ效应杆单元刚度方程，用以计算桩身剪切变形影响；推导大剪切变形下的PΔ效应的杆单元刚度方程，用以计算支座大剪切变形下的PΔ效应。

1计入剪切变形的PΔ效应杆单元

为推导计入了剪切变形和PΔ效应的杆单元刚度方程，假定弯曲变形产生的水平位移为三次幂函数，剪切变形产生的水平位移为线性函数。

1.1PΔ效应杆单元受力平衡微分方程

假定PΔ效应杆单元为弹性体，单元受力如图1所示。

式（43）～（45）分别由式（35）～（37）演化而来，主要是在反算单元节点剪力时已计入了小变形情况下竖向力因倾角而产生的径向剪切分力。式（43）～（45）的剪力项分别减去式（35）～（37）对应的剪力项即可得竖向力因倾角而产生的径向剪切分力。

1.7支座等大剪切变形构件PΔ效应计算

工程中大部分构件剪切变形影响很小而可以忽略。但如支座等大剪切变形构件，竖向力产生的偏心弯矩十分显著，而刚臂或弹簧均不能实时模拟支座的偏心弯矩效应。支座发生大剪切变形时，本文竖向力径向剪切分力近似计算公式不再适用。但是仅计入水平力剪切变形时的PΔ效应杆单元刚度方程式（36）却能很好地反映支座的工作性能，可以很好地计入竖向力在因支座大剪切变形而产生的偏心弯矩影响，即支座的PΔ效应。

2支座PΔ效应算例一

某支座高h=0.3 m，直径d=850 mm，剪切模量G=2 MPa，抗压弹性模量E=5 000 MPa，竖向力FN= 15 000 kN，水平力FH=180 kN。

支座受力如图2，支座顶水平位移由剪切变形Vs和弯曲变形Vm组成，但剪切变形远大于弯曲变形，且与支座高度h同数量级，为典型的大剪切变形构件；支座底部总弯矩由竖向力偏心弯矩和水平力矩组成，竖向力偏心弯矩往往极显著，且远大于水平力矩。支座偏心受压后其竖向抗压刚度会随之变化，其弯曲变形会出现一定的非线性，本文暂时忽略此影响，并假定其抗压弹模不变。

因此，支座PΔ效应对基桩内力位移影响显著，应该考虑；而剪切变形对桩身内力位移影响极小，则可忽略。

支座偏心弯矩效应也可以通过水平力作用在支座的剪切变形乘以竖向力近似求得，并将此偏心弯矩加载至基桩顶，即可在基桩PΔ效应计算时等效考虑支座的影响。但在上下部结构、支座和地基共同作用时，支座的偏心弯矩效应很难用等效弯矩进行实时模拟。因此，提出的计入水平力剪切变形时的PΔ效应杆单元刚度方程式（35）能很好地反映支座的偏心工作特性，为上下部结构共同作用的关键衔接构件——支座提供了理论支撑。

4结论

假定杆单元位弯曲变形移函数为三次幂函数，剪切变形位移函数为线性函数，根据有限元一般原理，导出了考虑了PΔ效应、水平力剪切变形、竖向力径向剪切分力剪切变形的杆单元的刚度方程，通过算例分析，主要结论如下：

1）推导了同时考虑水平力剪切变形、竖向力径向剪切分力剪切变形和PΔ效应的杆单元刚度矩阵方程；推导了仅计入水平力剪切变形而忽略竖向力径向剪切分力剪切变形时的PΔ效应杆单元刚度矩阵方程；推导了仅计入竖向力径向剪切分力剪切变形而忽略水平力剪切变形时的PΔ效应杆单元刚度矩阵方程，进一步完善了PΔ效应杆单元理论。

2）仅计入水平力剪切变形而忽略竖向力径向剪切分力剪切变形时的PΔ效应杆单元能很好地反映支座大剪切变形的偏心工作特性，为上下部结构共同作用动静力分析的关键衔接构件——支座提供了理论支撑。

3）支座和基桩共同作用的PΔ效应分析表明，在水平力作用下，支座大剪切变形下的PΔ效应将使基桩内力位移和桩侧土压力显著增大，并进一步削弱支座和墩台综合水平刚度，基桩PΔ效应分析、墩台水平力分配时应予以考虑。

4）基桩自身剪切变形对基桩PΔ效应影响极小，可以忽略。

参考文献：

[1]

赵明华.轴向和横向荷载同时作用下的桩的计算[J].湖南大学学报，1987，14（2）：6881.

ZHAO M H. The calculation of piles under simultaneous axial and lateral loading [J]. Journal of Hunan University， 1987， 14（2）：6881.

[2] 横山兴满.桩结构物的计算方法和计算实例[M]. 唐业清，吴庆荪.译.北京：人民交通出版社，1981.

YOKOYAMA.Calculation method and cases of pile foundation [M]. Translated by Tang Yeqing & Wu Yisun. Beijing . China communication press， 1981. （in Chinese）

[3] 李微哲，趙明华，单远铭，等. 倾斜偏心荷载下基桩内力位移分析[J].中南公路工程，2005， 30（3） ： 5357.

LI W Z， ZHAO M H， SHAN Y M， et al. Analysis of single pile under eccentric and inclined loading [J]. General South Highway Engineering， 2005， 30（3）： 5356.

[4] 赵明华，徐卓君，马缤辉，等.倾斜荷载下基桩C法的幂级数解[J]. 湖南大学学报（自然科学版），2012，39（3）：15.

ZHAO M H， XU Z J， MA B H，et al.Power series solution for pile based on Cmethod under inclined loads [J].Journal of Hunan University（Naturnal Science）， 2012， 39（3）：15.endprint

[5] 栾鲁宝，丁选民，周仕礼，等.考虑竖向荷载的桩基水平振动响应的解析解[J].建筑结构， 2015， 45（19）：8086.

LUAN L B， DING X M， ZHOU S L，et al. Analytical solution of lateral vibration of a axial loaded pile [J]. Building Structure， 2015， 45（19）：8086.

[6] 赵明华，邹新军，邹银生，等.倾斜荷载下基桩的改进有限元有限层分析方法[J].工程力学， 2004， 21（3）：129133.

ZHAO M H， ZOU X J， ZOU Y S，et al. Behavior of piles under inclined loads by the improved finite elementfinite layer method [J]. Engineering Mechanics， 2004， 21（3）：129133.

[7] 王用中，张河水. 弹性地基梁的压弯计算及其应用[J].桥梁建设，1985，14（4）：3052.

WANG Y Z， ZHANG H S. Bending calculation of elastic foundation beam and its application [J]. Bridge Construction ，1985，14（4）：30～52.（in Chinese）

[8] 赵明华，李微哲，曹文贵. 复杂荷载及边界条件下基桩有限杆单元方法研究[J]. 岩土工程学报，2006，28（9）：10591064.

ZHAO M H， LI W Z， CAO W G. Study on applying finite pole element method to analysis of piles under complex loads with different boundary restraints [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2006，28（9）： 10591064.

[9] 夏拥军，陆念力.梁杆结构二阶效应分析的一种新型梁单元[J]. 工程力学，2007，24（7）：3943.

XIA Y J， LU N N. A new beam element for secondorder effect analysis of beam structures [J]. Engineering Mechanics， 2007，24（7）：3943.

[10] 赵明华，李微哲，单远铭，等.成层地基中倾斜荷载桩改进有限杆单元法研究[J].工程力学，2008，25（5）：7985.

ZHAO M H， LI W Z， SHAN Y M， et al. Behavior analysis of piles in layered clays under eccentric and inclined loads by improved finite pole element method[J]. Engineering Mechanics，2008， 28（5）： 7985.

[11] 梁仁杰，吴京，何婧，等.PΔ效应对结构动力特性的影响[J]. 土木工程学报，2013，46（Sup2）： 6872.

LIANG R J， WU J， HE J，et al. Influence of PΔ effect on dynamic characteristic of structure [J]. China Civil Engineering Journal， 2013， 46（Sup2）：6872.

[12] 李刚，江义.考虑PΔ效应和自适应模态侧力分布的结构抗震能力评估[J].大连理工大学学报，2013， 53（1）：411.

LI G， JIANG Y. Evaluation of seismic capacity of structures considering PΔ effects and adaptive modal lateral load distribution [J]. Journal of Dalian University of Technology， 2013， 53（1）：411.

[13] 耿江玮，朱东生，向中富，等.非规则连续梁桥非线性地震反应分析[J].重庆交通大学学报（自然科学版）， 2011， 30（2）：185189， 281.

GENG J W， ZHU D S， XIANG Z F，et al. Nonlinear seismic response analysis of irregular continuous bridge [J]. Journal of Chongqing Jiaotong University （Natural Science）， 2011， 30（2）：185189， 281.

[14] 魏標，崔睿博，戴公连，等.橡胶支座对非规则连续梁桥地震反应的影响[J].中国公路学报， 2013，26（6）： 110117.

WEI B， CUI R B， DAI G L， et al. Impact of laminated rubber bearings on seismic response of irregular continuous bridges [J]. China Journal of Highway and Transport， 2013，26（6）： 110117.endprint

[15] 张志俊，李小珍，张迅，等. 弹性支座对桥梁车致振动的隔振效果研究[J].工程力学， 2015， 32（4）：103111.

ZHANG Z J， LI X Z， ZHANG X， et al. Study on the vibrationisolation effects of elastic bearings on traininduced vibration of railway bridge [J]. Engineering Mechanics， 2015， 32（4）：103111.

[16] 马长飞，谭平，张亚辉，等.考虑 PΔ效应的柱顶隔震结构的动力响应分析[J].土木工程学报， 2010，43（Sup1）：230234.

MA C F， TAN P， ZHANG Y H.Dynamic responses analysis of structures with isolators on the top of the columns considering PΔ effects [J]. China Civil Engineering Journal， 2010，43（Sup1）：230234.

[17] 刘彦辉，周福霖，谭平，等. 考虑隔震支座转动及PΔ效应的串联隔震结构响应研究[J].土木工程学报，2015，48（9）：6066.

LIU Y H， ZHOU F L， TAN P，et al. Study of dynamic response of serially isolated structure considering PΔ effect and rotation of bearings [J]. China Civil Engineering Journal. 2015， 48（9）：6066.

[18] 孟凡涛，张玉明，阮兴群.考虑剪切变形的半刚性连接钢框架PΔ效应研究[J]. 应用力学学报， 2013， 30（1）：136140.

MENG F T， ZHANG Y M， RUAN X Q. PΔ effects analysis of steel frame with semirigid connection and shear deformation [J]. Chinese Journal of Applied Mechanics， 2013， 30（1）：136140.

（編辑胡玲）endprint