设置对比情境 培养学生思维

吴德满

【摘要】本文介绍作者在带限制条件的排列问题教学过程中，通过例题对比及方法对比，旨在说明例题教学中注重例题设计及一题多解，然后对比各种解法的区别，从而发现规律，体现实质的重要性.

【关键词】带限制条件；双重受限；单重受限；排列

带限制条件的排列问题中有一类常见的限制是“在”与“不在”.即限制某些特定元素只能在某些位置，也可限制某些特定元素不在某些位置.这一类问题对学生而言，入手较难，而且特别容易出错，本文就这类问题用不同方法进行对比，从集合角度加以分析，并且总结解决办法.

一、单重受限：即部分元素和位置仅受到一个方面的限制

例1 甲、乙、丙三个班级分别从A，B，C，D，E五个景点各选一处游览，而且不能重复，由于甲班中部分同学已去过景点A，B，所以甲班不选景点A，B，问共有多少种安排方法.

分析 从元素看甲班受到限制，而从位置看景点A，B，受到限制，所以用优限法，可以优先安排甲班，也可优先安排景点A，B.

法一 优先安排甲班：甲从C，D，E选一处游览，而乙、丙从剩下的4个地方随意安排，故共有A13A24=36种安排方法.

法二 优限安排受限位置A，B.共分四类：第一类A，B都没被选，共有A33=6种排法；第二类A被选而B没被选，共有A12A23=12种排法；第三类B被选而A没排选，同样为12种排法，第四类A，B都被选，共有A22A13=6种排法，故共有6+12+12+6=36种安排方法.

评注 例2中优先安排受限制的元素甲，则不需要分类，因为甲一定要选位置.而优先安排受了限制位置A，B，则需要分四类，因为位置A，B不一定要被占据.

总结 通过例1、例2的对比：单重受限问题中，关键考查元素和位置哪个更“紧缺”，如果元素比位置少，则优先安排受限制元素更容易.相反，则优先安排受限制位置更容易，另外，也可都用间接法.

二、双重受限：即部分元素和位置受到两个方面不同的限制

例2 用0到9可组成多少个无重复数字的四位奇数？

分析 本例中有两个方面受到限制，一方面，0不能在千位，即千位只能在1到9中选.而个位只能在1，3，5，7，9中选，如果优先安排受限元素过于复杂，故优先安排受限制位置有两种做法：

法 先安排千位，再安排个位：分两类，第一类，千位为奇数有A15=5种安排法，再个位有A14=4种排法，最后是有一位和十位有A28=56种排法，共有5×4×56=1 120种排法.第二类，千位为偶数，同样共有A14A15A28=1 120种排法，故总共有1 120+1 120=2 240种排法.

例3 从A，B，C，D，E，F六人中选4人参加4×100米接力赛，其中A不能跑第一棒，B不能跑第四棒，共有多少种安排方法.

分析 例4也有两方面受限.一方面，A不能第一棒即第一棒只能从B，C，D，E，F中选.另一方面，B不能跑第四棒，即第四棒只能从A，C，D，E，F中選，由于元素比位置多，按照前面单重受限总结，如果优先安排受限A，B则情况过于复杂，下面采用优先安排受限的位置.

法一 先安排第一棒，再安排第四棒：分两类，第一类，若第一棒是B，则不再有限制，有A35=60种排法.第二类，若第一棒不是B，则共有A14A14A24=192种排法，故共有60+192=252种排法.

法二 先安排第四棒，再安排第一棒.同样分两类，第一类第四棒是A，有A35=60种排法，第二类第四棒不是A，则共有A14A14A24=192种排法，故共有60+192=252种排法.

评注 例4与例3则不同，无论先安排第一棒，再安排第四棒，还是先安排第四棒再安排第一棒都需要讨论.主要原因是第一棒的取值集合M={B，C，D，E，F}与第四棒的取值集合N={A，C，D，E，F}没有包含关系，这样无论优先安排哪个受限位置，对另外一个受限位置都有不确定的因素.同样例3中若把“奇数”改为“偶数”，则A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，B={0，2，4，6，8}由于A与B没有包含，所以讨论无法避免，若先安排千位，则分千位是奇数和偶数两类.若先安排个位，则分个位为0和不为0两类.另外，例4也可用间接法：A46-2A35+A44=252种排法.

总结 双重受限问题关键考查受限位置的取值集合间的关系.不妨没受限位置甲的取值集合为A，受限位置乙的取值集合为B.若BA，则先安排甲，再安排乙可以避免讨论.若AB，则先安排乙再安排甲可以避免讨论.如果A与B无包含关系，正面解答时讨论将无法避免，讨论的标准是看在不在A∩B中.如先安排甲再安排乙，则可分甲从A∩B中选和甲从CA（A∩B）中选两类.另外，必要时可用间接法.

通过上面两个类型的四个例题的分析和解答以及总结，能够使学生在这类排列问题能够有更深层次的掌握，特别对优限法有了本质地认识，而不是机械地模仿.使学生不但知其然，而且知其所以然，从而揭示了事物的本质，通过几种解法和对比，激活了学生的思维，而且遵循数学解题中的简单化原则，通过教学实践检验，取得了很好的教学效果.endprint