求某些非线性偏微分方程特解的一个简洁解法

刘建方

【摘要】随着科技的进步和发展，我们在物理、化学、生物及其他各个研究工程中对于数字的精确度要求越来越高，简单的数学模型已经无法满足这一要求了，于是又引入了微分方程这一模型，使精确度大大提高，本文借鉴之前提出的试探函数法，在其基础上，研究分析稍加修改，提出一种优化的试探函数求解某些非线性偏微分方程特解的方法.

【关键词】非线性偏微分方程；特解；优化试探函数法

目前我们已经能够掌握多种求解非线性偏微分方程特解的方法，但是，随着科学技术的深入研究，非线性方程的形式也是变化多端，因此，到目前为止，我们还是无法找到一个通用于任何形式非线性偏微分方程特解的求解办法，探索仍在继续.

一、非线性偏微分方程研究情况简介

在物理学及力学的研究过程中，要确切地描述各物理量之间的关系，我们经常需要建立起较复杂的非线性方程式.

为了便于解决这些问题，诸多学者为研究求解非线性微分方程付出了巨大的努力，尝试过各式各样的途径，最后倒也形成了不少求解非线性片微分方程特解的办法，其中更是融入了计算机技術，例如，齐次平衡法、直接代数法、指数函数法、椭圆函数展开法、F—展开法等.

通常情况下，非线性偏微分方程的求解都是按照一定的思路进行的：当我们遇到非线性偏微分方程，并且难于直接求出其解的时候，我们首先会利用现有知识分析解剖该非线性方程，使其转化成我们所能理解的形式；第二步就是进行运算，对于我们可以分辨的简单非线性方程，可以求解除其准确数值；最后，拆分后的非线性偏微分方程若是仍然无法直接解答，则可以利用数学技巧，转换思路，进而求出其近似解.

上述思路是我们在探索非线性方程特解时重要线索，也是一直以来遵循的道路，下面提到的试探函数包括优化之后的试探函数法都将继续服从这一理论.

二、试探函数法解非线性微分方程

（一）试探函数法

将求出的特解表达式代入上述要求解的非线性偏微分方程式中，利用最高阶导数项与最高幂次的非线性项之间的平衡关系，我们可以得出待定常数d的表达式：

表示出d之后，将表示式代入原非线性偏微分方程及其特解表达式中，简单整理运算后，可以得出a，b，c，A，B等参数之间的特定关系了，很显然，该非线性偏微分方程的几个特解就可求解出来.

（二）试探函数法的不足

试探函数法自提出后，其与之前存在的关于求解非线性偏微分方程的解法有所不同，计算起来较为简便，一直广受工程技术研究者的喜爱，试探函数法尤其广泛在求解Burgers方程和KdV方程中使用.虽然说试探函数法的发现，为非线性偏微分方程特解的求解提供了相对简单便捷的途径，但是其适用范围仍有所局限，只能具体到求解某些特定非线性方程的特解，对于达到适用于所有非线性偏微分方程特解的万能公式，还差好大的距离，新式方法和理论的研究探索仍需继续进行，下面将简单介绍一种优化的试探函数法.

三、优化试探函数法求解非线性微分方程特解

优化试探函数法是在试探函数法求解某些非线性偏微分方程特解的理论基础上稍加修改和创新之后形成的，这是一次大胆的尝试，优化试探函数法的灵感来源于“Hopf-Cole变换法”的思想，通过这一变换思想，推导出一种可以用于直接解出Burgers方程特解的表达式，应用起来非常的方便，对于非线性偏微分方程特解的求解来说非常便捷快速，可广泛应用于工程技术中的非线性方程问题的解决.

这样表示出参数d的表达式后，再代回方程式和特解表达式中，总结归纳出其他参数字母间的关系，进而求解非线性偏微分方程式的特解.很显然，从表达式的形式就可以看出，优化后的试探函数法的表达式更加的简单直观，计算步骤也直接易懂，相比较而言，原试探函数法就显得冗长烦琐，因此，在实际应用中，优化试探函数法更加适用于非线性偏微分方程特解的处理解决.

四、结束语

本文中介绍的优化之后的试探函数法相比较于之前的试探函数法来说，更加易于接受和理解，应用起来也更加高效快捷.非线性偏微分方程特解的求解方法还有很多，我们需要继续学习探索，在微分世界中寻求更便捷的方法，争取更高、更快、更强.

【参考文献】

[1]刘式适，等.求某些非线性偏微分方程特解的一个简洁方法[J].应用数学和力学，2001（3）：281-286.

[2]杨志强.一类非线性偏微分方程的解法与应用的研究[D].阜新：辽宁工程技术大学，2012.endprint