浅谈反证法的原理及应用

张双红+李犀子

【摘要】反证法之妙用，使其被誉为“数学家最精当的武器之一”.在数学解题中，会有一些用直接证明方法仍然无从下手和突破的命题，此时如果我们运用反证法这种间接方法来证明，效果往往出人意料.本文深入浅出，开篇简单介绍反证法由来、概念、原理、分类和作用；重点论述反证法的应用，其中包括反证法在高等数学中的使用和实践，并提出应用反证法应该注意的问题和方法.

【关键词】反证法；原理；应用

反证法作为一种证明方法是重要的，而教材中忽略了对反证法的详细介绍，导致反证法在培养学生逻辑思维方面的作用往往也被忽略.反证法虽然巧妙，但对于初学者来说，应该在什么情况下使用是不容易判断的，所以本文旨在从反证法的精神实质、论证步骤、具体方法等详解反证法.

一、反证法简介

对于反证法的来源并没有准确的文献记载.严格推理的起源和诞生是古典逻辑与欧几里得几何学，此时西方数学开始转变，逐渐推崇以证明为主，强调数学的精确性.希腊人由此重视逻辑的证明，同时反证法的举例和类型也出现在欧几里得编写的《几何原本》中.

反证法有诸多不同版本的定义以及描述，但其本质都是大同小异的.反证法可分为归谬法和穷举法，分类的依据是命题否定形式的多少.所谓归谬法，即：若原命题只有一种否定形式，只需要证明这一种情形不成立，便可证明出原命题是正确的.而穷举法则指的是若原命题的否定形式不单单只有一种，则必须逐个证明其不成立，得出原命题结论正确的方法.

反证法是数学中既常用又重要的一种间接证明方法，在数学中有着举足轻重的地位，应用也是相当广泛.在数学证明中，会遇到一些通过直接证明证明极其烦琐的命题，经常可用反证法进行间接证明.反证法包含了较丰富的辩证思维原理，从反证法观点出发，运用反向思维，可以克服思维定式，因此，对培养学生的发散思维，拓展学生的解题思路都很有帮助，并且在解题中也有重要的作用.

与直接证明法相同，反证法的推理过程也严格按照形式逻辑，遵循其基本规则.它能概括为“先否定，继而得出矛盾后再次否定”，即从否定结论开始，归纳出矛盾，从而形成新的否定.

通過证明命题的否定形式是假命题，再根据排中律证明已知命题成立的一种间接证法即是反证法，其通常包含反证假设、反正推理及反证结论三个步骤.如果命题结论的反面情况多种多样或隐晦不容易判断时，往往不容易做出假设，所以可以适当对命题变形后做出精准的假设.

二、反证法在高等数学中的应用

高等数学命题难度加深，更具复杂性，人为判断反证法适用于哪些命题是困难的.下面分别抓住数学分析及高等代数命题结论的特点，配合上相应例题，介绍几种可行性强的应用方法.

（一）反证法在数学分析中的应用

命题的结论中含有“唯一”形式，采用反证法比较简单.endprint