金融衍生品数学理论综述

马军

[提要] 文章主要介绍各种数学理论方法在金融衍生品中的发展。

关键词：金融衍生品；数学理论

中图分类号：F83 文献标识码：A

收录日期：2017年12月6日

一、金融衍生品简介

金融衍生品，是指一种金融合约，其价值取决于一种或多种基础资产或指数，合约的基本种类包括远期、期货、掉期（互换）和期权。金融衍生品还包括具有远期、期货、掉期（互换）和期权中一种或多种特征的混合金融工具。这种合约可以是标准化的，也可以是非标准化的。标准化合约是指其标的物（基础资产）的交易价格、交易时间、资产特征、交易方式等都是事先标准化的，因此此类合约大多在交易所上市交易，如期货。非标准化合约是指以上各项由交易的双方自行约定，因此具有很强的灵活性，比如远期协议。金融衍生产品是与金融相关的派生物，通常是指从原生资产派生出来的金融工具。

二、金融衍生品数学理论综述

金融衍生品在现代金融市场中扮演着非常重要的角色，如何合理地对金融衍生品定价变得越来越重要。传统的金融模型主要用随机微分方程来描述标的资产价格的变化过程。然而，随着行为金融学的兴起，越来越多的学者认识到金融市场中资产价格变化并不完全表现为随机性。在实证研究中的众多发现也表明，用随机微分方程来描述股票价格是不合适的，如在实证中人们发現标的资产的价格变化与来自于随机微分方程中的正态性假设是不一致的。在现实的金融实践活动中，投资者的信度常常扮演着重要的角色并且影响着市场的表现。

在金融领域中，衍生品扮演着越来越重要的角色。衍生品是由某种更为基本的标的资产派生出来的产品，其标的变量往往是某种交易资产的价格。例如，股票期权是由股票派生出来的金融衍生产品。随着金融创新的发展，许多新的关于股权、利率、汇率等的衍生产品出现在金融市场中。其他诸如保险衍生品、气候衍生品、信用衍生品的交易也都非常活跃。金融衍生品的出现，为金融市场中的投资者和交易者提供了投机和套利的机会，以及对冲风险的工具，金融衍生品在风险转移的过程中也起着相当关键的作用。

随着数理金融学的发展，对证券价格过程的描述从马尔科夫过程到独立增量过程，再到（几何）布朗运动，为连续时间金融定价理论的发展提供了基础数学工具。然而，越来越多的研究表明，市场并非想象中的那么完美，资产价格过程未必是连续的，对数回报率的分布并不都是正态的，而且存在“尖峰厚尾”现象。因此，对原有理论的拓展，尤其是对被尊称为“第二次华尔街革命”的Black-Scholes定价理论的改进成为最近20年来的数理金融理论的关注重点之一。

随着最近几十年不连续随机分析理论的完善，越来越多的研究工作开始用列维过程或者其他带跳的随机过程来模拟金融市场的波动，并推动了数理金融学理论新的发展。特别值得一提的是，通过引入更多的参数，方差伽玛（VG）过程在数学上有很好的性质，并且已经被证明可以解释一些经济现象：数学上，与布朗运动不同，方差伽玛过程是有限变差过程，并且增量的分布有着尖峰和厚尾性；经济学上，基于指数方差伽玛模型的期权定价方法可以解决经典的Black-Scholes期权定价模型中的“波动率微笑”困境；并且在信用违约互换的定价中，方差伽玛模型很好地刻画了实际市场中的信用溢价曲线。

1900年，法国学者巴谢利耶在他的博士论文《投机理论》中，第一次给出了布朗运动的严格数学描述，并对股票价格作算数布朗运动假设，这宣告了数理金融学的诞生。但遗憾的是，在20世纪的上半叶，金融学基本上是描述性的，其基本的分析范式是用会计和法律工具来分析公司的财务报表及金融要求权的性质，这直接导致在长达半个多世纪的时间内，巴谢利耶和他的著作一直被埋没而没有引起金融学界的重视。直到65年后，萨缪尔森通过统计学家萨维奇重新发现了巴谢利耶的工作，随后引起了数理金融学理论发展的两次里程碑式的革命，并对数理金融学研究的主要内容奠定了基调：（1）金融风险的度量；（2）未定权益的定价；（3）最优投资消费决策。

1952年，马柯维茨在他的博士论文《投资组合》中，用资产价值的波动率来刻画风险，建立了资产组合选择理论的“均值-方差模型”；然而，当货币主义学派的鼻祖、日后的诺贝尔经济学奖得主弗里德曼将其准备答辩的毕业论文斥之为非经济学后，马柯维茨不得不引入冯·诺依曼-摩根斯坦利期望效用公理体系来改进模型。恰恰是这个当时看似无奈的改进，开创了数理金融学理论的重要分支——最优投资消费决策理论。随后，夏普和林特纳进一步拓展了马柯维茨的工作，提出“资本资产定价模型”（CAPM模型）。为此，马柯维茨和夏普获得了1990年诺贝尔经济学奖，他们的工作也被称为“第一次华尔街革命”。

1944年，日本数学家伊藤给出随机分析中具有重大意义的伊藤积分的定义，并和列维、维纳等数学家一起，开创和拓展了处理随机变量之间变化规律的随机微积分基本定理，从而为第二次数理金融学革命奠定了理论基础。1973年，布莱克和斯科尔斯默顿基于市场无套利假设给出了著名的Black-Scholes公式，即标准欧式期权价格显示解，从而极大地激发了在理论研究和实际工作中大量运用随机分析的热情。随后考克斯开创了基于无套利的风险中性定价方法，随着哈里森和帕里斯卡、哈里森和克瑞普斯等杰出论文的发表，较理论在数理金融中占据了主导地位，从而确立了数理金融理论的另一个重要分支——未定权益定价理论。因此，斯科尔斯和默顿获得了1997年诺贝尔经济学奖，他们的研究工作也被称为“第二次华尔街革命”。与此同时，默顿和布里登使用贝尔曼开创的动态规划方法和伊藤随机分析技术，重新考察了不确定环境下的最优消费/投资决策问题，获得了连续时间跨期资源配置的一般均衡模型（ICAPM模型）和消费资产定价模型（CCAPM模型），从而推广了原先比较静态的均值-方差模型。

从数理金融学的发展历程可以看出，未定权益定价理论的基础是“有效市场假说”，即证券价格遵循随机游走，市场是一个鞍或“公平博弈”；而对证券价格过程的描述从马尔科夫过程到独立增量过程，再到（几何）布朗运动，为连续时间金融定价理论的发展提供了基础数学工具。可以说，“有效市场假说”和“证券价格过程的随机刻画”，是数理金融理论发展的基础。然而，1987年华尔街的“黑色星期一”，特别是1998年美国长期资本管理公司（LTCM）的惨败惊醒了华尔街的金融学家们：市场并非如他们想象的那么完美，资产价格过程未必是连续的，对数回报率的分布未必是正态的，套利也未必不存在，而当市场发生重大事件时，无套利假设更是一种虚幻。因此，对原有理论的拓展，甚至对基本假设的改进成为最近20年来的数理金融理论的关注重点。

其实早在1965年，Fama就指出金融工具资产回报的分布比正态分布具有更高的峰度并呈现出“厚尾”现象，特别在高频数据或资产剩余持有期較短的时候更加明显。传统的Black-Scholes模型存在着著名的“波动率的微笑”和“偏斜”等问题，而且由于违约事件的发生往往是突然的，不可能通过连续的资产价格过程来描述，因此最近几十年越来越多的研究工作开始用列维过程或者其他带跳的随机过程来模拟金融市场的波动，推动了数理金融学理论新的发展。

1976年，Merton首次引入跳扩散过程来刻画资产价格回报的动态变化，并推导出欧式期权价格的表达式；随后分别给出了跳扩散模型下含违约风险的债券和资产证券化的定价方法。类似的工作还有方差伽玛（VG）模型、双曲模型、NIG模型广义双曲模型、Meixner模型、CGMY模型等。与此同时，不连续情形下的最优投资消费决策问题的研究也层出不穷：基于蒙特卡罗方法给出了多维方差伽玛模型下的（静态）投资组合最优化问题的求解；假设股票价格变化服从半轶过程，通过对数效用最大化给出最优的投资组合；假设股票价格遵循指数Levy过程，分别给出了幂效用、对数效用和指数效用最大化的投资组合显式解；探讨了指数Levy模型下，基于特殊效用函数（如HARA效用）的最优交易策略和资产配置问题。

特别值得一提的是，1987年Madan首次将方差伽玛（VG）过程引入金融建模，发现VG分布相比原来的正态分布更准确地刻画了资产的对数收益率。在之后20余年里，大量学者研究了基于指数方差伽玛（EVG）模型的金融衍生品定价问题：1990年给出了基于EVG模型的期权定价方法，并与经典的BS模型进行比较；1998年，通过对VG过程特征函数的刻画，给出了基于EVG模型的标准欧式期权价格闭形解，并发现基于EVG模型的期权定价方法可以很好地解决经典的BS模型中的“波动率的微笑”困境；1999年，给出基于EVG模型下期权定价的快速傅立叶变换方法；则给出PIDE的显隐式差分数值求解方法，特别的，将其推广到EVG模型下美式期权的定价中；将EVG模型应用到信用违约互换（CDS）的定价中，很好的刻画了实际市场的信用溢价曲线；将VG分布推广到多维的情形，并应用到CDOs定价中。

可转换债券是一种既有债权属性又有期权属性的混合型金融工具，其定价理论大致有两类。第一种是结构化方法：1977年，以公司资产价值为标的变量，用BS方法首次对可转债进行定价研究；同年使用类似的方法，考虑股票分红和带赎回条款的情形，并使用有限差分的方法进行数值求解；到了1980年，开始把随机利率引入到可转换债券定价中，对上述方法进行了扩展；第二种是约化方法：1986年，fuel首次以公司股票价格作为标的变量来对可转换债券进行定价，同样通过有限差分法得到数值解。

但是，在上述的研究工作中，无论是结构化方法还是约化方法，都对基础变量的对数回报动态变化作高斯过程假设，其根本上与Black-Scholes模型中对标的资产作几何布朗运动假设是一样的。考虑到VG过程在数学上有很好的性质，并且已经被证明可以解释一些经济现象：数学上，VG过程增量的分布有着尖峰和厚尾性；基于对指数Levy模型基本理论归纳总结的基础上，将指数方差伽玛模型（（EVG）推广到可转换债券的定价研究中。