平面几何中的向量方法

沈星瀚

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何的一种工具，有着丰富的实际背景.用向量方法解决平面几何问题有三步：

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

（3）把向量运算结果翻译成几何关系.

简述：形到向量→向量的运算→向量和数到形.

解决平面几何问题时可以从向量的两种运算——基底运算和坐标运算入手，把平面几何问题用代数计算解决，降低几何构造中的难度.下面对用“向量法”解决平面几何问题举例加以说明.

例1已知P为正方形ABCD的对角线AC上的任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接DP，EF.求证：DP⊥EF.

解法一设AB=a，AD=b，|a|=|b|=1且a·b=0，则DP=DA+λAC=-b+λ（a+b）=（λ-1）b+λa.

∵EF=EP+PF=λBC+（1-λ）AB=λb+（1-λ）a.

又∵DP·EF=[（λ-1）b+λa]·[λb+（1-λ）a]

=（λ2-λ）b2-（λ-1）2b·a+λ2b·a+（λ-λ2）a2

=0，

∴DP⊥EF.

解法二如图所示，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，1），若设P（a，a）（0

∴DP=（a，a-1），

EF=（1-a，a），

∴DP·EF=a（1-a）+（a-1）a=a-a2+a2-a=0，

∴DP⊥EF.

例2已知等腰三角形ABC中，D，E分别是两腰AB，AC的中点，若CD⊥BE，则∠A是否为定值，并证明你的结论.

解法一设AB=a，AC=b，且|a|=|b|，

则CD=12a-b，BE=12b-a.

又∵CD⊥BE，即CD·BE=0，

12a-b·12b-a=0，

化简得a·b=45a2=45|a|2，

∴cosA=a·b|a||b|=45，

∴∠A是定值.

解法二如图所示，建立平面直角坐标系，可设A（0，b），B（-a，0），C（a，0），

∵D，E为AB，AC的中点，则

D-a2，b2，Ea2，b2，

∴CD=-3a2，b2，

BE=3a2，b2.

又∵CD⊥BE，即CD·BE=0，

∴-94a2+14b2=0，则b2=9a2.

∵AB=（-a，-b），AC=（a，-b），

∴cosA=AB·AC|AB||AC|=-a2+b2a2+b2=8a210a2=45，

∴∠A是定值.

总之，向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它既是幾何对象也是代数对象，因而成为数形结合的桥梁，成为沟通代数、几何的得力工具.它之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，可以使复杂问题简单化、直观化，使代数问题几何化、几何问题代数化.正是由于向量所特有的数形二重性，使它成为高中数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，在高中数学中有广泛的应用.