平面几何中的不等关系在解决最值问题中的应用

张柳桃

【摘要】平面几何中有关不等关系的公理和定理很多，比如，“两点之间线段最短”“直线外一点和直线上所有点的连线中垂线段最短”“分别在两条平行直线上的两点的连线中垂线段最短”等.这些公理和定理不仅可以解决平面几何自身的有关问题，同时解析几何、立体几何甚至貌似与此不相关的代数方面的最值问题经常可以通过化归进而利用这些原理加以解决.本文拟结合实际事例对此进行探讨.

【关键词】化归；最值；距离；对称

一、定直线（平面）上动点和该直线（平面）外两定点间的距离的和与差的最大、最小值问题

原理解析：

类型1平面内，已知点A，B在直线l的异侧，直线l上是否存在点P满足下列条件之一，若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由.

（1）|PA|+|PB|最大；（2）|PA|+|PB|最小；

（3）||PA|-|PB||最大；（4）||PA|-|PB||最小.

解析（1）直线l上不存在点P使|PA|+|PB|取得最大值.

原因是点P与AB和l的交点C距离越大，|PA|+|PB|也越大.

（2）当点P运动到与AB和l的交点C重合的位置时，|PA|+|PB|取得最小值，最小值是|AB|.事实上，如果点Q是直线l上异于C的点时，由“三角形两边之和大于第三邊”可得|QA|+|QB|>|AB|.

（3）如果点A和B与直线l的距离不相等，设点A′是点A关于直线l的对称点，则点P是直线A′B与l的交点D时，|A′B|是||PA|-|PB||的最大值.事实上，如果点Q是直线l上异于D的点时，由“三角形两边之差小于第三边”可得||QA|-|QB||<|A′B|.

如果点A和B与直线l的距离相等，不存在点P使||PA|-|PB||最大.

（4）||PA|-|PB||的最小值是0.当点P是直线l与线段AB垂直平分线的交点时取到.

类型2已知点A，B在直线l的同侧，直线l上是否存在点P满足下列条件之一，若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由.

（1）|PA|+|PB|最大；（2）|PA|+|PB|最小；

（3）||PA|-|PB||最大；（4）||PA|-|PB||最小.

可以通过对称化归成类型1.

另外，如果把题意中的直线换成平面，那么只要把点关于直线对称变成点关于平面对称，直线和直线的交点变成直线和平面的交点，问题可以得到类似解决.

例题分析：

例1已知x-y=1，求：

（1）x2+y2+（x-3）2+y2的最小值；

（2）|x2+（y+4）2-（x-3）2+y2|的最大值.

解析这两道题目如果用代数方法解决可以由x-y=1，得到y=x-1，代入所求最值的代数式，进而化成关于x的函数，然后利用导数进行解决，运算量之大不言而喻.但是如果我们利用几何意义，则问题变得十分简单.

解（1）设直线l：x-y=1，d=x2+y2+（x-3）2+y2，点O（0，0），A（3，0），则d的几何意义是直线l上的点P（x，y）与两定点O，A的距离之和.显然点O、A在直线l的异侧且两点到直线l的距离不等.故dmin=|OA|=3.

（2）设直线l：x-y=1，d=|x2+（y+4）2-（x-3）2+y2|，点A（3，0），B（0，-4），则d的几何意义是直线l上的点P（x，y）与两定点A，B的距离之差的绝对值.显然点A，B在直线l的同侧.故dmax=|AB|=5.

二、直线外一点和直线上的点的距离中，垂线段最短问题

原理解析：由直角三角形的斜边大于直角边容易证明结论的正确性.

例题分析：

例2已知m-n=1，求m2+n2-2m-4n+5的最小值.

分析本例可以转化为关于m或n的二次函数问题求解.也可以利用以下方法化归成点到直线的距离问题.

解设点P（m，n），d=m2+n2-2m-4n+5，则

d=m2+n2-2m-4n+5=（（m-1）2+（n-2）2）2表示直线l：x-y=1上的点P（m，n）到直线外定点A（1，2）的距离的平方，d的最小值是点A到直线l的距离的平方.

所以dmin=|1-2-1|22=2.

三、分别在两平行直线上的点的连线中垂线段最短问题

原理解析：分别在两平行直线上的点的连线中垂线段最短问题.

例题分析：

例3已知m+n=2，p+q=6，求（m-p）2+（n-q）2的最小值.

解法一设点A（m，n），B（p，q），则点A，B分别在平行直线l：x+y=2和t：x+y=6上.（m-p）2+（n-q）2的几何意义是分别在平行直线上的两点间的距离的平方，其最小值等于两平行直线间的距离的平方.即422=8.

解法二由题意n=2-m，q=6-p，所以

（m-p）2+（n-q）2=（m-p）2+（2-m-6+p）2=2[（m-p）+2]2+8.

当m-p=-2时，（m-p）2+（n-q）2的最小值为8.

四、圆外一点到圆上点之间的距离的最大、最小值问题

原理解析：如图，圆外一点A和圆O上所有点的连线中AC、AB分别达到最大和最小值.

例题分析：

例4已知x2+y2=4，求（x-3）2+（y-4）2的最大值和最小值.

解令P（3，4），d=（x-3）2+（y-4）2，显然点P在圆O：x2+y2=4之外.d的几何意义是点P到圆上点之间的距离的平方.

dmin=（|OP|-|OB|）2=（5-2）2=9；

dmax=（|OP|+|OC|）2=（5+2）2=49.

另外，本题又可以用三角换元法来解，但是比较麻烦.

五、与圆相离的直线上的点和圆上的点之间的距离最短问题

原理解析：如果直线l和圆O相离，直线m∥l，m和圆O相切于点P.过点P与直线l垂直的直线n交l于Q.则|PQ|是直线l上的点和圆O上的点的所有连线中最短的.也就是说：如果直线和圆相离，那么直线上的点和圆上的点的最短距离等于圆心到直线的距离与半径之差.

例题分析：

例5已知3a+4b=10，x2+y2=1，求：d=（x-a）2+（y-b）2的最小值.

解设点A（a，b），B（x，y），直线l：3x+4y=10，圆O：x2+y2=1，显然点A在直线l上，点B在圆O上，直线l和圆O相离.d的几何意义是直线l上的点和圆O上的点之间的距离.所以dmin=|10|32+42-1=1.

六、分别在外离两圆上的两点之间的距离的最大、最小值问题

原理解析：如果相离两圆的半径分别为R、r，圆心距为l，那么分别在两圆上的两点之间的距离的最大值为l+R+r，最小值为l-R-r.

例题分析：

例6已知a2+b2=4，（m-3）2+（n-4）2=1，求d=（m-a）2+（n-b）2的最大值和最小值.

解设P（a，b），Q（m，n）则P，Q分别在圆A：x2+y2=4，圆B：（x-3）2+（y-4）2=1上，显然圆A和圆B外离，两圆半径分别为R=2，r=1，圆心距l=5，所以，

dmin=5-2-1=2，dmax=5+2+1=8.

七、结语

以上是本人在教学实践中关于应用平面几何中的不等关系解决最值问题的点滴体会，不妥之处在所难免，望同行不吝赐教.endprint