探讨高中数学解题中对向量的巧妙应用

肖皓天

【摘要】向量是高中数学的主要内容，它是一种强大的数学工具，能够在高中数学解题中发挥很大的作用.本文通过几个例子说明了向量在解决高中数学代数与几何问题中的实际应用，说明了向量对于解决高中复杂数学题中的有效应用.

【关键词】高中数学；向量；解题

我国高中生由于面临很大的升学压力，而高校又是根据学生成绩进行择优录取的，所以分数对于高中生来说非常重要.为了提高学习成绩，学生只能靠做大量的练习题来进行锻炼，但是复杂多变的题型对于学生来说，解答很吃力，特别是数学.向量是高中数学比较重要的知识点之一，对于学生解答数学题来说，向量能够起到非常大的作用.向量不仅能帮助学生解答数学知识，还能够在实际生活中加以利用，对学生的生活、学习都能有很大的帮助.下面通过几个具体的例子来探讨向量在高中数学解题中的巧妙应用.

一、向量在高中代数中的有效应用

（一）向量在高中數学根式、分式和绝对值方程中的应用

在一般的高中数学题中，根式、分式和绝对值方程的解题过程普遍较为复杂，需要花费很长时间才能得出答案，而且运算过程中容易出错，属于吃力不讨好的题型，但是如果把向量运用到解题之中，就变得简单多了.

例1解方程x-1x+1-1x=x.

通过题中我们可以得知x可以作为分母而存在，所以x一定是大于零的，我们可以先对方程进行转化，得到下面的等式：1x1-1x2+1x1-1x=1.得出等式以后，我们进行向量的构造，使m=1x，1-1x，n=1-1x2，1x，然后由m·n≤|m||n|，可以得到1=1x1-1x2+1xx-1x≤1x+1-1x·1-1x2+1x2=1，所以两个不等式之间可以取等号，也就是m与n是同向的.因为|m|=1，|n|=1，所以1x=1-1x2，1-1x=1x，最后我们可以得到x2-x-1=0，所以x=1+52.

（二）向量在解决高中函数题中的应用

高中数学题中，有很多问题都是函数问题，由于向量具有代数与几何双重特性，所以在解决某些函数问题时，通过构造向量将函数之间的关系转化为向量之间的关系，通过对向量代数的运算很容易就能得出相关结论，大大简化解题过程，让函数的解题过程看起来更加直观与便捷.

例2已知x，y∈R，f（x，y）=（1-y）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2的最小值.

我们先假设a=（1-y，x+y-3，6-2x-y），b=（1，2，1），那么|a|=f（x，y），|b|=6.又因为a·b=（1-y）+2（x+y-3）+（6-2x-y）=1和a·b≤|a|·|b|=6f（x，y）可以得到1≤6f（x，y），也就是16≤f（x，y），当2-2y=x+y-3=12-4x-2y，也就是当x=52，y=56时，等式成立.所以当x=52，y=56时，f（x，y）有最小值16.

二、向量在高中几何解题中的应用

几何与代数是高中数学的两门基本课程，向量能够在解决代数题中起到较好的效果，同样，在几何题中运用向量与在代数题中类似，都能够得到有效的运用.不同的是，在几何题中，我们要把立体的空间想象加入到解题中来，在解答高中数学几何题时，有效运用向量，可以把复杂的问题简单化，快速把答案解答出来.

（一）向量在解决高中立体几何问题中的应用

例3在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，那么能否在棱C1D1上找到一点F，使B1F∥平面A1BE？如果能，请证明你的结论，如果不能，请说明原因.

我们首先在图中建立空间直角坐标系A-xyz，假设正方体的棱长是2，那么B（2，0，0），E（0，2，1），A1（0，0，2），B1（2，0，2，），可以得到BE=（-2，2，1），BA1=（-2，0，2），我们假设平面BEA1的法向量为m=（x，y，z），则m·BE=-2x+2y+z=0，m·BA1=-2x+2z=0，如果让x=1，那么z=-1，y=32，所以得到m=1，32，-1.我们假设在棱C1D1存在一点F能够使B1F∥平面A1BE，设F（x0，2，2），（0≤x0≤2），得到B1F=（x0-2，2，0），所以

m·B1F=1×（x0-2）+32×2+（-1）×0=0.最后得到x0=-1，所以找不到点F，使B1F∥平面A1BE.

（二）运用向量解决高中数学中的不等式问题

向量也可以用在不等式的解题过程中，使不等式的解题过程得到简化.

例4证明（x-2）+9+（x-5）2+1≥5.

假设a=（x-2，9），b=（5-x，1），根据|a|+|b|≥|a±b|，可以得到（x-2）2+9+（x-5）2+1≥（x-2+5-x）2+（3+1）2，所以我们可以得到（x-2）+9+（x-5）2+1≥5.

三、结语

通过上面几个例子我们可以看出，把向量运用到高中数学题的解题过程中，比两点间的距离公式和三角代换都要简便很多，在解法上也比较新颖、独特.在利用向量法解题的过程中，还可以看出数学建模的实际过程，充分发挥向量在高中数学中的工具作用.endprint