笑看数列不等式，妙趣横生话放缩

薛玉财++孙桂萍

【摘要】放缩法证明数列不等式作为高考试题中的一个难点，让很多学生望而生畏，无从着手.本文中，笔者结合近几年的高考试题，总结了一些用放缩法证明数列不等式的常用策略.

【关键词】数列不等式；放缩法

【基金项目】本文系吉林省发改委项目：认知诊断模型构建、软件开发与推广和东北师大教改项目：中学数学教师课堂教学表征能力及其培养路径研究成果.

数列和不等式是高中数学的两个重要内容，而数列不等式恰是这两个重要内容的交汇融合.数列与不等式的交汇题作为高考的一类重要题型，在全国各地的高考试题中屡次出现，其中又以数列不等式的证明最为多见.放缩法作为数列不等式证明的一种重要方法，由于其灵活多变，学生总觉得很难掌握.下面笔者结合高考试题谈一谈用放缩法证明数列不等式的常用策略.

一、放缩目标模型——可求和

放缩法证明与？星蠛陀泄氐牟坏仁剑艨芍苯忧蠛停拖惹蠛驮俜潘酰蝗舨荒苤苯忧蠛停话阋冉ㄏ罘潘鹾笤偾蠛？.有些情况下，通项放缩求和后还要对和再放缩，根据不等式的传递性得证.高考中，又以放缩后出现等比模型和裂项相消模型最为常见.

（一）等比模型

利用等比数列进行放缩是一种重要的方法，即将不能直接求和的通项an放缩为等比数列{bn}.

例1（2014年全国卷Ⅱ理科第17题）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1.

（Ⅰ）证明：an+12是等比数列，并求{an}的通项公式；

（Ⅱ）证明：1a1+1a2+…+1an<32.

解析（Ⅰ）an=3n-12.（Ⅱ）由（Ⅰ）知1an=23n-1，因为当n≥1时，3n-1≥2·3n-1，所以13n-1≤12×3n-1.于是1a1+1a2+…+1an≤1+13+…+13n-1=321-13n<32.

（二）裂項相消模型

裂项相消模型的一般形式是将an放缩为可以裂项相消的bn，使bn=cn+1-cn，再求和.

裂项求和的最常见形式主要有：

① 1n（n+1）=1n-1n+1；

② 1（2n+1）（2n-1）=1212n-1-12n+1；

③ 1n（n+1）（n+2）=121n（n+1）-1（n+1）（n+2）；

④ 1n（n+1）<1n2<1n（n-1）（n≥2）；

⑤ 1n2<1n2-14=4（2n+1）（2n-1）=212n-1-12n+1.

二、放缩目标模型——可求积

放缩法证明与数列求积有关的不等式，方法与求和相类似，只不过是放缩后得到的数列是可求积的模型，能求积的常见的数列模型是分式型.

例2（2015年安徽卷理科第18题）设n∈N，xn是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标.

（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；

（Ⅱ）记Tn=x21x23…x22n-1，证明：Tn≥14n.

解析（Ⅰ）xn=1-1n+1=nn+1.

（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）中的计算结果知

Tn=x21x23…x22n-1=122342…2n-12n2.

当n=1时，T1=14.

当n≥2时，∵x22n-1=2n-12n2=（2n-1）2（2n）2>（2n-1）2-1（2n）2=2n-22n=n-1n，

∴Tn>122×12×23×…×n-1n=14n.

综上，对任意的n∈N，均有Tn≥14n.

三、放缩目标模型——利用重要的函数不等式

例3证明：lnx>x-1x（x>1）.

证明设f（x）=lnx-x-1x（x>1），f′（x）=1x-1x2=x-1x2>0，故f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）>f（1）=0，即lnx>x-1x（x>1）.利用此不等式证明的关键在于如何将x赋予有关的值，从而将不可求和的问题进行转化.记忆积累这个公式可以大大缩短解题时思维的长度.

四、放缩目标模型——利用基本不等式

例4（2011年广东卷理科20题）设b>0，数列{an}满足a1=b，an=nban-1an-1+2n-2（n≥2）.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）证明：对于一切正整数n，an≤bn+12n+1+1.

注：第（Ⅱ）问用放缩法证明数列不等式.

解析（Ⅰ）an=2，b=2，n（2-b）bn2n-bn，b∈（0，2）∪（2，+∞）.

（Ⅱ）方法一：

证明：① 当b=2时，an=bn+12n+1+1=2；

② 当b>0且b≠2时，2n-bn=（2-b）（2n-1+2n-2b+…+2bn-2+bn-1），

∴an=nbn2n-1+2n-2b+…+2bn-2+bn-1

≤nbnnn21+2+…+（n-1）·b1+2+…+（n-1）=bnn2n（n-1）2·bn（n-1）2

=bn2n-12·bn-12=bn+122n-12=bn+12n-1=bn+1·2n-12n-1

=2bn+1·2n+12n+1

因此，对于一切正整数n，an≤bn+12n+1+1.