培养数学猜想能力的教学思考

陈志凤

牛顿曾经说过：“没有大胆的猜测就做不出伟大的发现.”确实，许多重大的发现都是起源于猜想，比如，牛顿通过砸在头上的苹果发现了万有引力定律，阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真假的方法……数不胜数的事例告诉我们，孩子们还是需要猜想能力的.所谓的数学猜想，是“指以一定的数学事实为根据，通常是应用类比、归纳的方法提出的，或者是在灵感中、直觉中闪现出来的.”如何培养学生们的数学猜想能力呢？笔者觉得应该从数学猜想的几个步骤着手——大量事实的观察、验证、类比、归纳概括等提出猜想，下面笔者就结合一些课堂实践谈一谈对于培养学生猜想能力的思考与尝试：

一、鼓励学生经历观察、大胆猜想，培养猜想的自发性

猜想前，要经历一定的观察活动，否则学生们很难开始猜想.比如，教学“分数除以整数”前，笔者出示的是故事：唐僧师徒四人西去取经，化缘得到三张饼，要将三张饼平均分给四个人，可以怎么分？结合三张圆形纸片分一分.于是得到两种不同的分法，先分一张饼，每人分得一张饼的14，三人共分得3个14，就是3×14=34；也可以将三张饼摞在一起，平均分成4份，就是3÷4=34.基于这个操作活动和等式，猜想还是有一定难度的，教师可以手势辅助点拨，引发孩子们对于分数除法的猜想，即除以一个数，就等于乘这个数的倒数.

猜想的前提必须要经历，经历操作、练习、观察，只有亲身体验了，才能提出自己的猜想.当然，这一过程中，也有些学生羞于猜想，怕说不对，同学会嘲笑，这时，教师要鼓励学生们大胆地将猜想表达出来.由于这里的是初步猜想，说对或错，教师们不要急于否定或肯定，更不能打击，对于肯猜想的、愿意表达的要给予表扬，以此激发更多学生的参与度和自发性.

二、鼓励孩子迁移知识、类比猜想，培养猜想的可靠性

没有数学事实作依据、天马行空般随意猜想是不能称为猜想的，因此，数学猜想不是无根之木、无水之源，它必须要建立在相关知识的迁移之上.在鼓励学生们大胆猜想、自发生成初步论断的同时，更要鼓励学生们迁移相关知识，做有据可寻的猜想判断.

比如，笔者在教学六年级“分数拆分问题”前，先出示了一系列的填空题：12×3=1（）-1（），13×4=1（）-1（），19×10=1（）-1（），……学生们基于五年级的知识边做边发现，分母中的两个数都相差1，可以直接拆分成两个分数单位直接相减.在这些练习的积累上，当学生们遇到这样一道算式：1n×（n+1）=1（）-1（），也会水到渠成地生成这样一道猜想式.

同样，在这些知识迁移后，再进行分母相差2，分子是2的分数拆分猜想时，学生们会更加有导向、有方法，学生们会试着猜想这类拆分题，再出题套用、验证此前的猜想，同样也会生成出分母相差几，分子是几的分数拆分猜想.

最后，再进行分子和两个分母的差不同的分数拆分，学生们应用此前猜想已经没办法解答此类题目.这时教师可以出示几组题：14×7=（）（），14-17=（）（），14×7=14-17×（），……力求使学生们在几组题组中迁移出相关拆分知识，类比猜想出这类拆分的规律，并用字母表示出：na×（a+m）=1a-1a+m×nm.这样的归纳，概括了所有类型的拆分类型，具有统一性的同时，也更加简约.

三、鼓励学生应用直观、归纳猜想，培养猜想的简约性

猜想的表达形式，可以是文字，也可以是公式化的，具有简约性，如上例的猜想结果.其实简约性不仅体现在结果，還体现在过程之中.猜想这种直觉思维若想准确、可靠，通常是贴近逻辑思维而行进，让学生们的直觉更加有据可寻.但是，逻辑思维一般不抽象，因此，我们在培养学生思维的可靠性时，可以鼓励学生们应用几何直观来判断同伴的猜想或疑问是否成立.

比如，教学“钉子板上的多边形”一课时，皮克定理的公式是数，是公式，但如果脱离图形去探究，则失去了依托.教学中，先在钉子板上围了几个内部钉子数是0的长方形，引发学生猜想多边形边上的钉子数和面积间的关系；再围出内部钉子数是2的多边形，猜想S=N÷2-1在这些图形中是否适用？图形内部有什么变化呢？数一数每个图形内部有几枚钉子？面积分别是多少？仅仅考虑边上的钉子数行吗？想一想怎样计算？在直观的图形导引下，学生们猜想出S=N÷2+1.依此探究步骤，学生们得出内部钉子数是1的多边形S=N÷2；内部钉子数是3的多边形S=N÷2+2……这样的公式写也写不完，于是就生成出了统一公式：S=N÷2+A（其中N是边上的钉子数，A表示内部钉子数）.

几何直观既可以运用在数形结合的猜想上，还可以用于其他题上，结合了图形加以辅助思考，猜想也变得更加强劲，同时也大大简化了思考过程.

四、鼓励学生运用思想（方法）、应用猜想，提升猜想的灵活性

猜想除了需要知识迁移、直观图形辅助猜想之外，更需要数学思想的支撑.有时候，面对稍复杂的题目时，我们可能无法下手，找不到任何知识作支撑，这时候数学思想可能来得更加给力.教学五年级“多边形面积计算”时，笔者更加侧重教学转化的数学思想及排空法、公式法、转化法等方法，这时，学生们是用数学方法（思想）在进行猜想，它大大提升了孩子们猜想的灵活性.

思维灵活性是学生数学素养的重要方面，是我们教师在平时的教学中应一以贯之的内容，学生只有掌握了正确的思维策略，培养了良好的思维品质，才会在今后的数学学习中学得轻松，游刃有余.

综上所述，孩子们的数学猜想能力需要从观察、类比、归纳概括开始，需要从心理、知识、技能、思想方法等方面训练，力求培养出孩子们猜想的自发性、可靠性、简约性及灵活性.借助猜想，让学生在小学阶段形成良好的数学思维，学生的数学学习之途才会平坦而快乐，才会走得长远.endprint