数学专业复变函数教学方法探讨

刘声

【摘要】针对数学专业复变函数课程教学，对复变函数教学中存在的一些问题进行了分析，结合具体知识点和例题，从引导学生自学、抓住本质、结合应用等角度对复变函数课程教学的方法进行了讨论.

【关键词】复变函数；引导式教学；教学方法

复变函数是数学专业学生的专业必修课，也是分析方向的主干课程，可以看成是对数学分析内容的推广与扩展.复变函数除了在数学课程中有较多的应用外，在其他学科，如信号处理、电磁学、电学等学科中也有着广泛的应用.广大数学教育工作者们对复变函数教学方法的探讨一直都没有停止过，很多有效的教学方法被学者们提出.其中包括对比教学法[1-3]、几何教学法[2]、案例教学法[3]以及转化和反例教学法[4]等.这些方法对提高复变函数教学效果具有较高的参考价值.

本文首先对复变函数教学中存在的一些问题进行分析，然后结合具体知识点和例题探讨几种针对数学专业学生复变函数教学的方法.

一、数学专业复变函数课程的问题分析

目前，在一些高校，尤其是一些独立院校或者地方二本院校中，在数学专业的复变函数教学中存在一些问题.

第一，课时较少，内容较多.许多高校复变函数的周课时为3.内容包括复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的幂级数、留数定理等.对于基础稍差的独立院校或者地方二本院校，课时确实较少.

第二，对复变函数的应用涉及较少.事实上复变函数在其他很多学科里都有比较重要的应用.而由于多数数学老师对其他学科了解较少，所以提及较少.

二、数学专业复变函数课程教学法探讨

（一）以学生自学为主的引导式教学

在文献[1-3]中，作者们都提到了类比教学，主要是因为复变函数里很多的结论，如，复变函数的极限、连续、可微、解析函数的幂级数等都是数学分析里结论的推广.所以，对于这些内容，我们可以通过引导的方式提前让学生自学，然后让学生自己讲.例如，在教材[5]中，第四章的前两节内容基本上是数学分析内容的直接推广，只有两个定理涉及到了解析函数，所以这部分内容完全可以让学生课前自学.然后让学生自己来讲解这两个定理，其他学生对其证明讲解过程进行提问，教师再做最后点评.这样不但可以提高学生的自学能力，还可以把更多的时间留给一些较难内容的讲解.

（二）抓住本质避免学生走向误区

复变函数与数学分析相比，一个大的不同点就是有多值函数的出现.而对于多值函数的单值解析分支、支点、支割线是复变函数的一个难点.所以对这部分内容的教学，需要抓住本质，避免学生走向误区.下面以一道题为例来说明这个问题.

例[5]求f（z）=3z（1-z）在平面适当割开后可以分解成三个单值得解析分支，求出z=2取负值的那一支z=i的取值.

很多学生可能会参考公式

f（z）k=|3z|earg（z）+2kπ3，k=0，1，2，（1）

来求解此题.先设

f（z）k=|3z（1-z）|earg[z（1-z）]+2kπ3，（2）

然后将z=2代入到f（z）=3z（1-z），将arg（z（1-z））看成是z（1-z）的辐角主值求出使z=2取负值的k.然后将z=i代入到f（z）k，便可求出z=i的取值.

这样的解法看似没有任何问题，但事实上是有问题的.主要原因是学生没有抓住解析分支的本质.因为arg（z（1-z））表示的并不一定是z（1-z）的辐角主值，它只能表示在以一个定点为参考而确定的连续变化的幅角.因此，这个值我们需要通过z=2绕到z=i，z，（1-z）辐角的改变量来确定的.

如果将f（z）=3z（1-z）换成f（z）=z，用公式（2）解题是比较方便的，尤其是当平面被负实轴割破时，arg（z）可表示辐角主值.

而这个题比较理想的求解方法就是教材[5]中利用辐角改变量求解的方法.如果用公式（2）在确定arg（z（1-z））的时候是比较麻烦的.因此，抓住单值解析分支的本质，才不会出现上述的错误.

（三）结合复变函数的应用，提高学生的学习兴趣

在对数学专业学生讲授复变函数的过程中，如果能够介绍一些复变函数在其他学科中的应用，可以讓学生对复变函数的应用有更多的理解，也能激发他们的学习兴趣.

例如，在介绍复数的三角形式的时候，可以介绍在信号处理里面，为了方便处理，也引入了复信号的概念，在电磁学中，有时电磁波也可表示成复数的形式.让学生了解，复数的出现不只是为了处理负数在实数里不能开平方的问题.在讲解留数定理应用的时候，我们可以介绍某些积分在对信号进行傅里叶变换时有比较重要的作用.例如，在留数定理的应用中有个重要积分∫+∞0e-ax2cosbxdx，a>0在计算某些信号的傅里叶变换时就需要用到.

三、总结

本文介绍了数学专业复变函数教学存在的两个问题，并且通过具体的例题或者知识点，从引导学生自学、抓住本质、结合应用等方面对复变函数的教学进行了探讨.旨在为复变函数的教学提供一些参考.

【参考文献】

[1]杨祺，曹月波，王娜.对比教学法在复变函数教学中的应用[J].兰州文理学院学报（自然科学版），2014（1）：106-110.

[2]张国威.高校复变函数论教学法的探讨[J].安阳师范学院学报，2014（2）：123-124.

[3]王光伟，许书云，郭颖，等.案例教学法在复变函数教学中的运用[J].数学学习与研究，2016（7）：88.

[4]刘显全.复变函数教学法探讨[J].大学数学，2012（2）：155-158.

[5]钟玉泉.复变函数论：第4版[M].北京：高等教育出版社，2013.endprint