直线方程中的对称问题分类解析

■孙建国

直线方程中的对称问题分类解析

■孙建国

解析几何中的对称问题是高考中的“常客”，破解这类问题的关键是利用转化求解，即将点线位置关系问题转化为方程问题求解。下面分类解析，供同学们参考。

一、点关于点的对称问题

例 1 过点P（0，l）作直线l使它被直线ll：2x+y—8=0和l2：x—3y+l0=0截得的线段被点P平分，求直线l的方程。

解：设直线ll与l的交点为A（a，8—2a）。

由题意知，点A关于点P的对称点B（—a，2a—6）在l2上，代入l2的方程得—a—3（2a—6）+l0=0，解得a=4，即得点A（4，0）在直线l上。

所以由两点式可得直线l的方程为x+4y—4=0。

评注：若点 M（xl，yl）与N（x，y）关于点P（a，b）对称，则点P是线段MN 的中点。

二、点关于直线的对称问题

例 2 已知直线l：2x—3y+l=0，点A（—l，—2），求点A关于直线l的对称点A′的坐标。

解：设A′（x，y）。

由已知条件可得方程组：

评注：若两点 Pl（xl，yl）与 P2（x2，y2）关于直线l：Ax+By+C=0对称，则线段PlP2的中点在对称轴l上，且连接Pl，P2的直线垂直于对称轴l。

三、直线关于直线的对称问题

例 3 已知直线l：2x—3y+l=0，求直线m：3x—2y—6=0关于直线l的对称直线m′的方程。

解：在直线m 上取一点，如 M（2，0），则点M（2，0）关于直线l的对称点M′必在直线m′上。

设对称点 M′（a，b）。

由题意可得方程组：

又直线m′经过点N（4，3），所以由两点式得直线m′的方程为9x—46y+l02=0。

评注：对于此类问题，一般转化为点关于直线的对称问题来解决。

四、对称问题的综合应用

例 4 已知光线从点A（—4，—2）射出，到直线y=x上的点B后被直线y=x反射到y轴上的点C，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D（—l，6），求线段BC所在的直线方程。

解：作出简图，如图l所示。

设点A关于直线y=x的对称点为A′，点D关于y轴的对称点 为 D′，则 易 得A′（—2，—4），D′（l，6）。由入射角等于反射角可知A′D′所在的直线经过点B与点C。

图l

评注：物理中的光线反射问题，一般都可转化为解析几何中的对称问题。解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般转化为求对称点的问题。

江苏太仓高级中学

（责任编辑 郭正华）