试论高中数学解题中运用构造法的措施
2018-01-10吴奕涵
摘要:构造法是一种有效的解题方法,在高中数学中经常用到,但依旧有很多同学缺乏了解,运用效率有待提升。笔者结合自身经验,从构造思想、联想思维、多元方法并用、构造法的应用等几方面加以分析,就构造法的运用提出了些许建议。
关键词:高中数学 构造法 创新
高中数学有一定的难度,在学习和解题过程中,如果遇到阻碍,可尝试换一种思路和方法,体现出应用的灵活性。构造法作为一种常用的解题方法,使用频率较高,往往能把未知量转变为已知量,化难为简,降低解答难度,从而起到意想不到的效果,因此广受欢迎。掌握一种数学思想或方法,对当前的高中生而言非常重要,不仅影响了解题效率,还关乎其思维能力。所以,高中生应掌握并熟练运用构造法,以提升解题能力和应用水平。
一、渗透构造思想
构造法既是一种有效的解题方法,也是一种数学思想。笔者对周围同学进行过小规模的调查,大部分人对构造法都没有明确详细的认知,有人仅仅是听说过,有人在解题时偶尔会用到,但并不知道是构造法。总之,同学们缺乏对构造法的深入了解,运用构造思想解决问题的意识有待增强。所以,首先应对构造法产生兴趣,对其有个全面系统的认识。从字面意思理解,构造法是运用联想、转化等思想,通过构造辅助函数、图形等形式来解决问题的方法。其优点在于巧妙、高效、构造对象较为丰富,高中数学中的函数、方程、数列、几何等都可作为构造对象。
其次,培养并渗透构造思想,这需要有扎实的基础,平时多观察,打破固定思维敢于创新,并不断提升对所学知识的应用能力。然后,结合题目的特征及信息,根据“所求”列出所需要的条件,通过构造朝着这些条件逐渐靠近,直至建立起联系。笔者喜欢阅读一些与数学相关的课外材料,发现高斯、欧几里得等数学家们,都运用过构造法解决问题,可以借此来培养兴趣。在运用构造法时,切忌盲目,应仔细分析题干,明确构造目的。平时可对此开展专题训练,强化构造意识,将构造思想渗透到日常解题和数学应用中。
二、培养联想思维
联想是高中生必须具备的能力之一,很多题目都是对很多知识的综合应用,而并非单独的一个知识点。从近些年的高考题目中不难发现,考单个知识点的题目越来越少,大部分题目至少考两个知识点,这就要求学生迅速锁定考察范围,并对相关知识梳理一遍,选出对解题有用的部分。其实,高中数学的每个单元都有着紧密的内在联系,比如一元一次方程、不等式、数列、空间立体几何,均能与函数建立起关系。素质教育强调创新,而联想便是培养创新意识不可或缺的思维形式,构造法的关键在于挖掘出隐含信息,获取更多的已知量,或者把一些看似熟悉的条件,转化为规范形式,从而方便解答。
以等差数列为例,其在各类试卷中的出现频率极高,提起等差数列,首先要联想到通项公式、前n项和等核心知识点。尤其是通项公式,可以说是打开等差数列的钥匙,应当以此为突破口。考试时,直接考察公式运用的题目过于简单,往往都是经过了复杂的变形。所以,需要通过构造法来还原等差数列。
类似的方法有很多,比如数形结合,也是高中生必须掌握的一种数学思想。笔者认为,要在高中数学的学习中渗透数形结合思想,学生必须培养自身的四种意识,即转化意识、等价意识、简化意识、动态意识。平时要加强训练,特别是符号、文字、图形三种语言之间的转化,有些题目在画出相应的图形后,答案便一目了然;有些题目文字过于冗长,用数学符号表示,反而更加清楚。总之,高中生要多学习、多观察、多思考、多积累,将构造法与其他常用方法结合起来,效果会更明显。
四、提高应用能力
为了彻底掌握并熟练运用构造法,不能采取题海战术,而是每次运用构造法解决问题时,都要做好总结和反思,再配合一定的练习题目,才能将构造法理解透。高中数学涉及到很多知识,为了全面渗透构造思想,高中生要勤动手、多练习,运用构造法去解决不同类型的问题,从而提升综合应用能力。
例如,应用构造法解决方程问题。函数与方程之间有着密切联系,方程法作为高中解決数学问题的主要构造方法,同学们应该不会陌生。通常是结合题目中给出的已知条件,通过假设,构建起等量性方程式,进而分析各个方程量之间的关系,并借助恒等式变形,把抽象的内容形象化,以提高解题效率。
已知a、b、c均为实数,其中,a—6=﹣b,c2+9=ab,求证a=b.
题目中的已知条件较少,又是证明类的题目,若直接证明,必然浪费时间。根据以往经验,证明题大都有简便的方法,只要抓住关键点,一切都很容易解决。运用发散思维,联想与方程有关的知识,运用方程构造法解决会事半功倍。根据题目可知a+b=6,ab=c2+9,通过解方程式可求出a、b的值,运用韦达定理构造方程式,很容易对此进行解答。
五、结语
学习高中数学时,难免会遇到各种题目,如果没有头绪,不妨换个角度思考,尝试运用不同的方法进行解决。这就要求学生熟悉多种数学思想和解题方法,并有灵活的思维能力。构造法作为一种常用的解题方法,很多同学都用到过,但自己并不清楚,这说明还未彻底掌握构造法,今后还需加强练习。
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(作者简介:吴奕涵,浙江省温州中学,高中学历。)