水中气泡分布的共振估计法的误差分析及修正

黎章龙，屈 科，张 薇，何树斌

（广东省近海海洋变化与灾害预警重点实验室，广东 湛江 524088）

在海洋环境科学中，气泡作为海水—空气之间气体输送和物质交换的载体，也是海洋噪声的来源之一。水中气泡的分布对潮汐动力、海洋表层的声磁特性、大气颗粒物的形成等等都有着重要影响。所以，测量海表气泡分布对于海洋探测有着十分重要的意义。

检测气泡半径与分布有声学和光学两种方法。光学方法主要通过高速照相机进行捕捉检测。高速照相机具有分辨率高、可以直接获取气泡分布等优点，但对背景环境光照有很高的要求，而且在实际状况下，会产生影像重叠，使得检测结果误差增大。此外，虽然光学方法精度高，但是观测面积小，满足不了实际状况下对大面积观测的要求。曹瑞雪[1]对海洋表层及次表层气泡分布系统研究后，设计了高分辨率的CCD成像系统，并对背景光源和视频采集等进行了改良，有效地提高了反演准确度。但是，光学方法依旧无法满足大面积观测的需要。声学方法虽然在精度方面不及光学方法，但其成本低，操作简单快捷，而且观测面积大。所以，研究和改进声学气泡反演方法，可以以较低成本，简单快捷测量出气泡的分布，进而研究海气相互作用的内在机理。

共振谱法是反演水中气泡分布中被广泛使用的方法。国外Kerry and Elan对共振估计法进行了详细的研究，结合孔隙率、声衰减系数等与反演密切相关的参数，提出了共振谱反演算法，还对假设分布的选取等问题进行探究，分析了共振谱法的误差来源，并针对其误差提出了分步反演的修正方法[2]。

国内对气泡的声学研究主要集中于船舶尾流和气幕弹产生的气幕等方面。钱祖文在20世纪80～90年代对海洋气泡进行了大量研究，他的研究表明，当气泡浓度很高时，气泡间存在相互作用，可以采用声学反演法分析气泡的相关参数[3-5]。林巨[7]在分析共振反演法的适用范围后，结合辐射阻尼系数与声信号频率之间的反比关系，建立了AW修正模型，对共振估计法进行了改进。谢萍[8]对共振谱法的误差提出了声速修正，较好地修正了反演结果，但是对于非共振效应的研究还比较少。范雨 喆[9]提出了等效空间关联函数概念，所建立声学反演方法能准确反演出气泡群的分布及聚集趋势。张忆[10]提出了一种新的声学反演方法，即通过测量不同声波频率下气泡群的散射强度，进而反演出气泡的粒径和密度。

本文针对经典共振谱法存在的问题，仿真分析了非谐振频率的误差，提出了一种分频段反演方法，有效地解决了经典共振谱法存在的缺陷，提高了反演精度。

1 共振谱反演方法

共振估计法的假设是只考虑气泡的共振效应，忽略非共振频段的声衰减影响。

假设气泡半径为a，入射声波波长为λ，声波波数为K,且Ka≤1。由于本文主要考虑非共振效应对反演结果的影响，所以对于共振谱法在特别高频范围（如10 000 kHz以上）不满足前提条件Ka≤1而影响到在高频段的反演效果的情况，不给予考虑。结合散射截面与衰减截面，可以推导出声衰减系数积分公式[2]：

式中：α1(f)为声衰减系数，dB/m；n(a)为气泡分布m3/m；δ为总阻尼系数；f为入射频率；f0为气泡共振频率；c为声速；a1和a3分别为半径的最小值和最大值。

在共振条件下，衰减最大。通过推导气泡半径、入射频率以及共振频率与声衰减系数的关系公式，从而计算出声衰减系数。

入射声波频率与共振半径关系为：

式中：γ为空气比热比，一般取1．4；P0为静压力；ρ为空气密度。

基于共振假设，只有入射频率对应的共振半径的气泡才会使信号发生衰减，其他半径气泡对非共振频率的声衰减没有影响。因此可以对声衰减系数积分公式进行简化，得：

进一步对积分内简化，可得气泡分布的共振估计反演公式：

式中：δor为辐射阻尼，与声速有关:

2 仿真结果及误差分析

为了检验共振谱法的反演效果，假设实际气泡分布遵循高斯分布：

式中：φ0为孔隙率。孔隙率取 0．000 05，数学期望μ以及方差σ取0．000 06，气泡半径a范围在20～250 μm。为了提高运算效率，入射频率范围为1～200 kHz，由此得反演如图1所示。

图1 仿真环境分布（红线）以及反演分布（绿线）

图1中反演误差出现在小半径区间，而与反演结果密切相关的是声衰减系数，所以分析声衰减系数的差异有利于找出反演误差的来源。实际声衰减系数由式（1）计算，共振近似声衰减系数可由反演分布代入式（4）计算。实际声衰减系数和共振近似声衰减系数的比较结果如图2所示。

图2 仿真环境声衰减系数（绿线）以及反演声衰减系数（蓝线）

图2中在低频段范围，实际声衰减系数与反演声衰减系数吻合较好，而在高频段范围内，反演声衰减系数与实际声衰减系数偏差随频率增大而增大。由式(2)可知，图2中的高频段范围对应图1的小半径区间，说明小半径范围内的反演误差是由于高频段衰减系数错误估计导致的。而声衰减系数的错误估计来源于共振假设：只有入射频率所对应共振半径的气泡才会使信号发生衰减，其他气泡对信号衰减无影响。共振谱法计算声衰减误差主要集中在高频段，由此导致反演结果在小半径区间分布有较大误差。

3 分频段反演算法及结果

由于共振假设只考虑共振声衰减，导致高频段声衰减与实际衰减有较大误差，这一误差会导致在较小半径范围出现错误的反演结果，无法应用于实际观测中。针对这一误差，本文提出了分频段反演算法：先对低频段进行分布反演，得到其声衰减系数。利用低频段反演的声衰减系数消去全频段反演的声衰减系数的非共振效应，将得到的差值代入式(4)，即得到修正分布。

在仿真过程中，假设a2至a3为大半径区间分布的半径范围，代入声衰减公式：

得到低频段的声衰减系数α2，利用低频段求得的α2消去原衰减α1中的高频段非共振效应的影响，得到的是修正的共振衰减，即：

将差值代入式(4)，得到在a1到a2这段半径范围对应的新分布，结合a2至a3这段分布，可以得到修正后的分布：

在图1中可以看到对于气泡半径大于100 μm部分,反演分布与实际分布吻合，即可取100～250 μm作为吻合较好分布的半径范围，通过分频段反演方法得到20～100 μm的新分布,修正后的分布如图3所示。

图3 仿真环境、反演以及修正分布

在图3中，修正分布与实际分布在小半径区间的符合程度更好，在20～250 μm范围内基本都吻合较好。说明本文提出的分频段反演算法比原反演算法效果更好，误差更小。修正前和修正后对应的声衰减系数分布如图4所示。

图4 低频段反演声衰减系数以及仿真环境声衰减系数

从图4可知，利用修正后分布来反演声衰减系数，虽然依旧存在反演误差，但反演结果在高频段有了极大的改善。和仿真结果吻合较好。

以上的仿真实验表明：分频段反演修正法，能够有效减小反演误差，提高反演准确度。

4 结论

经典共振谱法在进行水中气泡分布反演时，在小半径区间范围内反演结果存在较大误差。误差来源是声衰减系数在高频下共振近似误差。共振谱法计算出的声衰减误差主要集中在高频段，说明共振估计法在高频条件下不适用。

对于共振估计法在高频下的误差，本文提出了一种分频段反演算法通过低频段分布与实际声衰减系数相减得到的差值，对共振衰减进行修正，得到反演效果更好的修正分布。

本文为了说明分频段的效果，只是简单地分为了2段，对抑制非共振效应有明显的效果，但是完全消除非共振的影响需要更为精细的分段以及反演方案。所以非共振效应的影响依旧较大，以及在高频下存在着声速频散现象，是反演结果依旧存在误差的原因。

在小半径区间内，本文提出的分频段反演分布吻合情况比原反演分布更好。分频段反演修正法可以有效减少反演误差并提高反演准确度。

[1]曹瑞雪.海洋表层及次表层气泡测量及分析[D].青岛：中国科学院海洋研究所，2006.

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