量天尺

孙至喆

摘 要：随着科技的进步，人类飞往宇宙有接近现实，因此对星球间距离的测算尤为重要。而利用一些简单的几何学并进行适当的简化，就可以进行一些粗略的估算，还能在一些难以到达的地方建立观测点完成一些需要大量器材资金才能做到的事。

关键词：测距；几何应用；建模

1.“简单近距宇宙”模型

宇宙中的环境复杂而多变，因此在对星体进行测绘时往往需要借助极具精密的仪器和繁琐的公式。

不过，如果被测绘星体与观测点之间的距离远小于其他星体与被测绘星体的距离，或其他星体的质量等过小。则其他星体对测绘的影响（主要是对光线和运行轨迹的影响）可以忽略。于是，可以简化为由三个或以下星体构成的“简单近距宇宙”。

在“简单近距宇宙”中，星球可视为球体，其运行轨迹可视为圆或近似圆的椭圆，陨石、飞行器、空间站等体积较小的物体可以视为点。

因此，在“简单近距宇宙”模型下，可以通过一些平面几何定理进行简单估计测绘。

2.古代测绘地球方法：第一把量天尺

常言道：“求人不如求己”。如果想要测绘出宇宙中其他天体的距离、半径等数据，就必须通过某个“媒介”作为“刻度尺”。我们脚下的地球恰恰正是这样一把合适的“量天尺”。

古人测量地球主要使用平行线的有关定理。将地球视为一个圆（过球心沿赤道的切面），将太阳光视为平行线。在甲、乙两地分别立一根竖直的已知标杆（长度为m），当阳光直射甲时，会在乙杆处留下影子（长度为n）。多以圆心角为tanθ=nm，再量出甲、乙两地间的距离（长度为s），就可以测绘出地球的半径、周长等数据了。

3. 从地上到天上：利用平面几何建立两个特殊位置的地外观测点。

待测绘星球在地球上找到与OO′对称的两点A、B，作如图所示切于两圆的直线l1、l2，相交于甲。作如图所示切于两圆的直线线l3、

l4，相交于乙。在地球上测出A、B间距离，则可以得到圆心角（∠α），则∠α可求得∠1=90°-∠α，∴∠O-甲=R0cosα，同理可求得：O-乙=R0cosβ 。

于是，我們相当于分别在离地心R0cosα的甲和离地心R0cosβ的乙各建立了一个“观测点”，且甲、乙在地球与待测绘星球球心所连接线段所在直线上。利用这两个“观测点”，可以求得待测绘星球的半径与两星球的球心距。

于是，待测绘星球的半径与两星球的球心距就测出来了。

4. 三点测距：从“两点一圆”到“三圆”

古代有一种测距方法，使远方的物体处于你的两眼正中，分别使目标—A（右手指）-C（右眼）；目标-B（左手指）-D（左眼）处于同一直线上。这就构成了两个相似的等腰三角形，然后根据两手指间距AB，两眼间距CD，以及手、眼间距AC或BD，就可以测出目标与人之间的距离。

在“简单近距宇宙”中，也可以采用类似的方法。分别在A、B两个观测点作OA、OB及切线l1、l2，测量出lAB、∠α、∠β、∠OAB、∠OBA，可得：OB=R·sinβ，OA=R·sinα，所以△ABC可解，即

于是待测绘星球半径及与A、B两点间距离OA、OB就测出来了。

以上方法是用在当你有两个距离较远且距待测绘星球较近的“点”时。而如果你有两颗星球时，则可以构建“三球”模型。

在“三球”模型中，待测绘星球可视为四条切线所围成的四边形的内切圆。当然，也可以通过甲、乙两个“地外数学测绘点”求解。

5. 总结

在“简单近距宇宙”中，质量等属性所带来的影响极小，故而可以忽略，又因为星体数目在三个或以下（三点决定一个平面）故可以使用平面几何来解决一些测绘问题。

通过建立“地外数学测绘点”可以将地面上的测绘点“移”到天上。当被测绘星球距离较近或体积较大时，可采用“双测绘点模型”（3）。当被测绘星球距离较远或体积较小时，可采用“两点一圆”或“三圆”模型（4）。

总之，合理的排除一些干扰因素，并利用好“地球”、“地球-太阳轨道”、“两个已知飞船”等“量天尺”就可以在茫茫太空中建立坐标系，进行测绘。

（作者单位：山东省济钢高级中学，山东 济南 250100）endprint