Orlicz序列空间的（k）性质

左明霞+彭丽娜

摘 要：（k）性质是Banach空间中一个重要的几何性质，它与弱不动点性质密切相关。利用Banach空间及Orlicz空间的几何理论，研究（k）性质在一类具体的Banach空间——Orlicz序列空间中的刻画问题。给出了赋Luxemburg范数和赋Orlicz范数的Orlicz序列空间具有（k）性质的判别准则。作为推论，得到了这类空间具有弱不动点性质的一个充分条件。

关键词：Orlicz序列空间；Luxemburg范数；Orlicz范数；（k）性质

DOI：10.15938/j.jhust.2017.06.023

中图分类号： O177.3

文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2017）06-0122-05

Abstract：Property （k） is an important geometric property in Banach spaces，and it is closely associated with fixed point property.By the geometric theory of Banach spaces and Orlicz spaces， we investigated the characterization for property（k） in a special class of Banach spacesOrlicz sequence spaces. Criteria for property（k） in Orlicz sequence spaces equipped with both the Luxemburg norm and the Orlicz norm are given. As a corollary， the sufficient condition that this kind of spaces has weak fixed point property is obtained.

Keywords：Orlicz sequence space； Luxemburg norm； Orlicz norm； property （k）

0 引 言

不動点问题自20世纪以来已成为人们研究的热门课题之一。近年来，关于非扩张映射的不动点理论得到了很大的发展，这些理论在微分方程、动力系统理论、经济均衡理论及控制论等领域有着广泛的应用。一些数学工作者利用Banach空间的几何性质讨论了定义在非空的有界闭凸集上的非扩张映射的不动点的存在性。例如，Browder和Kirk分别证明了一致凸和具有正规结构的Banach空间上的非扩张映射具有不动点性质[1，2]。这些结果将Banach空间的几何性质和非线性映射的不动点性质联系在了一起。此后国内外的一些学者利用空间的几何性质对非扩张映射的不动点性质进行了广泛的研究， 得到了许多重要的结果[3-14]。人们在考虑不动点性质的同时，引入了弱不动性质的概念。Banach空间X称为具有弱不动点性质是指如果C是X的一个非空的弱紧凸子集，T：C→C是一个非扩张映射（即x，y∈C， 有‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖），则T在C上必有一个不动点。后来，Kirk在Banach空间中引入了弱正规结构的概念，并证明了弱正规结构蕴涵弱不动点性质[15]。1994年，Sims在文[16]中引入了（k）性质的概念，证明了若Banach空间X具有（k）性质，则X具有弱正规结构，并且给出了Banach空间X具有（k）性质的一些充分条件。因此，（k）性质是与弱不动点性质密切相关的一个重要的几何性质。本文将讨论（k）性质在一类具体的Banach空间——Orlicz序列空间中的刻画问题，给出了赋Luxemburg范数和赋Orlicz范数的Orlicz序列空间具有（k）性质的充分必要条件，从而得到这类空间具有弱不动点性质的一个充分条件。

1 预备知识

推论2 若M∈Δ2，则赋Orlicz范数的Orlicz序列空间loM具有弱不动点性质。

参 考 文 献：

[1] BROWER F E. Nonexpansive Nonlinear Operators in a Banach space [J]. Proc. Nat. Acad. Sci. USA， 1965（54）：1041-1044.

[2] KIRK W A. A Fixed Point Theorem for Mappings Which do not Increasedistances[J]. Amer. Math.Monthly， 1965， 72（1）： 1004-1006.

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[5] FALSET G J. The Fixed Point Property in Banach Spaces with NUS Property[J]. J. Math. Anal. Appl.， 1997（215）： 532-542.

[6] FALSET G J， FUSTER L E， NAVARRO M E. Umiformly Nonsquare Banach Spaces Have the Fixed Point Property for Nonexpansive Mappings [J]. J. Funct. Anal.， 2006（233）： 494-514.endprint