试题有瑕 探究显瑜

李隽易

近期在解决一道与解三角形相关的模考题（如下）时，学生们发现从“化角”与“化边”两个不同的思路进行求解，竟然得到了截然不同的答案，这引发了班级的大讨论.

分析 从解答的结果来看，解法1与解法2得到的取值范围差异极大，不仅范围不同，左右端也完全不相同.从解法1来看，S+8 2 cosAcosC=8 2 cos（2A- 3π 4 ）≤8 2 恒成立，解法2的解答肯定不准确;从解法2来看S+8 2 cosAcosC= ac 2 2  + 24 2  ac ≥4 3 ，解法1认为S+8 2 cosAcosC>-8也肯定将范围缩放的太大了.那么该问题的解答是不是[4 3 ，8 2 ]呢？如果是，又该如何完善解法1与解法2呢？

3   讨论探究

经过教师引导与学生讨论，发现解法1的本质在于将问题转化为求关于角A的函数的值域问题，其可改进的地方在于需进一步考察角A的取值范围，得到更精确的定义域.而解法2的特点在于通过运用基本不等式得到表达式的最小值，其可以改进的地方有两点.其一，需深入探究“等号”是否真的能够取到;其二，由于运用基本不等式难以求得表达式的最大值，因此不妨将问题转化为求关于ac的函数的值域问题.与解法1相似，问题的焦点集中于探寻ac的取值范围.

基于这些认识，学生们给出了如下改进方案.

方案1  因为a2-c2=2b=8>0，所以a>c，进而有A>C，即A> 3π 4 -A，所以A> 3π 8 .又因为0<A< 3π 4 ，所以 3π 8 <A< 3π 4 ，进而得到S+8 2 cosAcosC∈（-8，8 2 ）.

分析该方案注意到了A>C这个条件，进而缩小了角A的取值范围.尽管仍然没有解决最初提出的[4 3 ，8 2 ]的猜想，但是将这一范围缩小到了 [4 3 ，8 2 ）.这虽是解答改进的一小步，却是学生观念变化的一大步.学生发现原有的解法确实存在缺陷，甚至[4 3 ，8 2 ）也可能还不是最终的结果.当“化角”的思路不顺利的时候，越来越多的学生转向考虑“化边”来解决问题.

方案2  为了得到ac的取值范围，学生罗列了a，c满足的条件，并加以研究.然而，结合第（1）问的结论，以及余弦定理，学生发现a，c竟然满足方程组  a2-c2=8，a2+c2- 2 ac=16，  这意味着a与c很可能可以求出确定的值，也就是说，ac很可能是定值而非取值范围，进而S+8 2 cosAcosC也应该是一个定值.余下只需要解出a，c，即可得到S+8 2 cosAcosC的值.

分析  该方案在探索的过程中，意外地发现了题目的瑕疵，S+8 2 cosAcosC很有可能是定值，而非原题的“取值范围”.然而，在求解的过程中，学生在解方程组  a2-c2=8，a2+c2- 2 ac=16，  时遇到了困难.教师适时回顾相似问题“已知tanθ=2，求 sin2θ+sinθcosθ”的解决过程，即通过构造齐次式，将二元问题转化为一元问题，进而解决问题.引导学生把握两个问题的结构特征，通过类比迁移求出方程组 的解.

方案2的实施  由题意，得  a2-c2=8，a2+c2- 2 ac=16，  两式相除，得 a2-c2 a2+c2- 2 ac = 1 2 ，即  （ a c ）2-1  （ a c ）2+1- 2 · a c  = 1 2 ，解得 a c =  14 - 2  2 ，即a=  14 - 2  2 c.将其代入方程组，解得c2=4（3+ 7 ），进而ac=4 2 （2+ 7 ），故S+8 2 cosAcosC= ac 2 2  + 24 2  ac =4 7 .

方案2的发现和实施是学生在该问题研究中的重大突破.由于原题求解“取值范围”，学生因目标定位，将解决问题的方法瞄准了函数法和基本不等式法，并在随后的探究过程中将焦点集中于更具一般性的函数方法上.但是随着研究的深入，学生逐渐认识到题设条件与未知数的数量恰好匹配，函数的值域不再是一个区间而是一个单元素集合，进而认识到题目的瑕疵.这使得学生不局限于具体数学问题的模式识别，而是把握数学思想的实质，对于方程（组）思想、函数思想有着更为本质的理解.

在实施方案2的基础上，教师引导学生转过来进一步探究如何从“化角”的思路进行求解.

4   小结反思

首先，由于“求取值范围”本已包含“求值”的含义，因此原题并不是错题，只是表意上不够精确，有些瑕疵.然而正是对这道瑕疵題的探索，使学生深刻地认识到函数法在解决“求取值范围”问题和“求值”问题上的统一性，将该类问题转化为求函数值域的问题是问题解决的通法.

其次，一个数学问题的条件往往告诉我们“能做什么”，而其所求目标往往告诉我们“需要做什么”.紧紧盯着目标能有效指引我们解决问题的方向，然而对条件的深度解读才决定着我们解决问题的程度.随着对该问题探究的不断深入，学生逐渐发现“能做”的越来越多，最终能够笃信推理而不是迷信原题所说的“范围”，逐步发展“逻辑推理”素养.

第三，数学教与学过程中遇到的瑕疵题，以及学生们多解中的矛盾都是重要的教学资源.教师应及时抓住教学契机，指导学生进行数学探究.主要可以从两个方面进行指导.其一，把控数学探究的层次与节奏.例如，在本题探究的过程中，学生历经从发现两种解法中的矛盾到提出猜想，再到发现瑕疵、否定猜想;从拟定方案到实施方案，再到进一步改进方案;从解决问题到探索多解，再到改编问题.随着学生认识的层层深入，数学探究对学生思维的要求也逐渐提高.其二，当学生遇到困难的时候，适时指导学生回顾曾遇到的相似问题，引导学生通过类比迁移，自主解决问题.例如，在方案2与方案3的实施过程中，教师适时地回顾相似问题，帮助学生突破难点，使得数学探究得以顺利进行下去.