归纳与类比是发现的重要工具

蒋夏军

【摘要】归纳与类比不但是形式逻辑的重要思维方法，而且也是数学方法与数学教学方法的重要思维方式.归纳是发现的基础，类比是发现的源泉，它们是教学中发现的重要工具.

【关键词】数学思维方式；数学教学方法

归纳与类比不但是形式逻辑的重要思维方法，而且也是数学方法与数学教学方法的重要思维方式.同时在科学研究中，也是发现真理的重要工具.归纳、类比具有创造性.通过它们得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题.

一、归纳是发现的基础

首先，归纳是根据特殊数量关系推断出一般的数量关系，故由归纳所得结论超越了前提所包含的内容，它有发现的性质；其次，归纳所得的结论具有猜测的性质，常需用证明来完成；第三，由于归纳的前提是单个的，所以归纳是建立在观察、经验或实验的基础上，有发现真理的认知论意义，有具体到抽象的认知功能.

在数学教学方法论中，由24+4=20与34+4=85都是合数，由于“人生有限，数目无穷”，可归纳出一般规律：当整数n>1时，形如n4+4的数都是合数.然后再进行一般性证明：n4+4=（n2+4）2-（2n）2=（n2+2+2n）（n2+2-2n）.

数学王子高斯说：“在数论中由于意外的幸运颇为经常，所以用归纳法可萌发出极漂亮的新真理.”

求一个自然数的约数个数之关键是将这个自然数分解质因数：24=23×3，24的约数个数是（3+1）（1+1）=8个；200=23×52，200的约数个数是（3+1）（2+1）=12个，由归纳可发现求任何自然数a=Pa11Pa22…Pann的约数个数（用T（a）表示）T（a）=（a1+1）（a2+1）…（an+1）.当然其一般性还需证明.

如果自然数的约数个数公式知道了，那么如何求自然数的所有约数的乘积呢？任用归纳发现：6=2×3有T（6）=4个约数：1，2，3，6.用P（6）表示6的全部约数的乘积，P（6）=36，而6T（6）=36.若再观察、实验便得一般抽象的规律：自然数a=Pa11Pa22…Pann的一切正约数的乘积P（a）=aT（a）.

若不了解一般规律的证明方法，则仍可采用归纳的方法发现：6的四个约数既是1，2，3，6，又可写成61，62，63，66，则1×2×3×6=6×6×6×61×2×3×6，可推出（1×2×3×6）2=64，得到P（6）=6T（6）.前面发现的一般规律可证明如下：令di是a的任一正约数，则adi也是a的正约数，a的一切正约数的乘积P（a）=d1d2…dT（a）=ad1·ad2…adT（a），推出（d1d2…dT（a））2=aT（a）.最后得P（a）=aT（a）.

归纳的类型有不完全归纳法、完全归纳法与数学归纳法，本文只介绍不完全归纳法.由于归纳所得结论不一定是真理，所以有举反例的说法.费尔马曾经考查过22n+1型的数，叫作费尔马数，当n=1，2，3，4时，费尔马数都是质数.但是欧拉证明了第5个费尔马数225+1=37×641却是个合数.由数学教学方法论，教给学生举反例是一种训练数学思维的好形式.

为什么说归纳是发现的基础呢？我们从特殊的、具体的数量关系发现一般的、抽象的规律，正是数学教学的一条基本原则，即具体与抽象相结合.“特殊性寓于一般性之中”，一个具体特殊的数量关系不足以说明一般抽象的、我们发现的规律性，但无数个具体特殊的数量关系可抽象出我们发现的规律.

二、类比是发现的源泉

首先，类比是以旧有的认知为基础，喻出新的结果；其次，它是从一种事物的特殊属性推测出另一种事物的特殊属性；第三，类比的结果是猜测性的，不一定是真理，但它却有发现的功能.类比可分为严格的类比与不严格的类比，纵向类比与横向类比，其中纵向类比又分为结构类比、降维类比和简化类比.

如下题：已知a，b，c，d均为自然数，且a+b+c+d=9，试证a3+b3+c3+d3≠100.若不会证明，则可以构造一个比较简单的类比问题（即降维类比或简化类比）：若a，b，c均为自然数，且a+b+c=5，试证a2+b2+c2≠14.

对于这个简化类比问题，可用反证法来证明：若a2+b2+c2=14，则a2+b2+c2-（a+b+c）=14-5=9，即（a2-a）+（b2-b）+（c2-c）=9，可化为a（a-1）+b（b-1）+c（c-1）=9.由于等式左边的三项均为两个连续整数，当然能被2整除，但右边的9不能被2整除，由此推出矛盾.这个矛盾说明a2+b2+c2≠14.如果利用简化类比问题的操作、方法和思想来证明原来的问题，并不是困难的事.

由于类比是发现的源泉，可用类比发现更多的数学规律性：

若a，b，c，d，e均为自然数，且a+b+c+d+e=14，试证a5+b5+c5+d5+e5≠1 000.

波利亚说：“得知许多类似情况的类比结论比得自较少情况的类比结论更强，但是这里质量仍然比数量更为重要.清晰的类比模糊的相似更有价值，安排有序的例子比随意收集的情况更能说明问题.”

三、归纳与类比是教学中发现的重要工具

为了培养开拓、创新型人才，在数学教学中要大胆地使用歸纳与类比发现规律.

如，如果方程ax2+bx+c=0的两根之比为2∶3，求证：6b2=25ac.

对于这道题如果教师用归纳、类比的思维方式，可以得到一系列新的发现.变1：如果方程ax2+bx+c=0的两根之比为5∶7，求证35b2=144ac.变2：如果方程ax2+bx+c=0的两根之比为m∶n，求证mnb2=（m+n）2ac.

如果使用特殊思维方式，还可得出：变3：如果方程ax2+bx+c=0的两根相等，求证b2=4ac.

由于条件b2=4ac与此方程的两根相等是充分必要条件，还有一系列规律.变4：试证方程ax2+bx+c=0的两根之比为m∶n的充要条件是mnb2=（m+n）2ac.

在数学教学方法论中，归纳发现、类比联想所得结论是成串的，它兼有思维、认知、创造、发明的功能，而且有利于培养创造性人才.它有“发现真理”和“证实真理”的双重意义.endprint