圆柱形永磁体磁场建模及仿真研究

周恩权 郑仲桥 张燕红 王奇瑞

（1.海安交睿机器人科技有限公司，江苏 南通 226000；2.常州工学院，江苏 常州 213032；3.江苏大学现代农业装备与技术教育部重点实验室，江苏 镇江 212013）

圆柱形永磁体磁场建模及仿真研究

周恩权1郑仲桥2张燕红2王奇瑞3

（1.海安交睿机器人科技有限公司，江苏 南通 226000；2.常州工学院，江苏 常州 213032；3.江苏大学现代农业装备与技术教育部重点实验室，江苏 镇江 212013）

为了寻求圆柱形永磁体磁场的简便算法，基于永磁体等效电流模型，把永磁体被磁化的效果视为永磁体表面存在面电流产生的磁场，得到了永磁体磁场的空间分布规律，推导出圆柱体型永磁体空间的磁感应强度解析公式，并通过MATLAB多重数值积分功能求出圆柱形永磁体的空间磁感应强度。结果表明：计算值和实验测量值基本吻合，用永磁体等效模型及磁场数值积分方法计算永磁体的磁感应强度不仅简单而且计算精度较高。

永磁体；磁场；数值积分；磁感应强度

1 永磁体等效电流模型的建立

1.1 永磁体电流等效模型

物质是由原子组成的，每个原子又由原子核和电子组成。电子绕原子核转动形成电流，这些环流定向排列起来，在宏观上显示出N和S极。当磁介质均匀时，介质内部任何两个分子环流中相邻的那一对电流元方向总是彼此相反，它们的效果相互抵消。因此，永磁体的等效电流模型可以认为是，永磁体外部空间磁场是由永磁体侧表面的束缚面电流产生的。其束缚面电流密度为：

其中，Jm表示束缚面电流密度；Br表示剩余磁化强度；μ0表示真空磁导率，μ0=4π×10-7H/m。

1.2 圆柱形永磁体三维磁场解析式推导

当半径为r0、高度为h的圆柱形永磁体沿一个方向均匀磁化且达到饱和状态后，外部空间中任意一点的磁场仅由永磁体表面闭合电流环路所激发。设环路内电流为I，则在与平面xoy平行的任意一平面上电流密度由于是圆柱形永磁体，选用柱坐标系，用()r0,θ,z0表示位于永磁体内部的点，建立如图1所示坐标系。

图1 圆柱永磁体的参数

考虑到由平面Z与z+dz构成的薄层，在其外部空间任一点p(x,y,z)处，由强度为Jmdz的电流环产生的磁场为dB→，从毕奥-萨伐尔定律和磁场叠加原理可知，圆柱体外任一点p(x,y,z)的磁感应强度为：

电流环产生磁感应强度B→在x,y,z的分量分别为：

圆柱永磁体空间磁感应强度为：

将（1）代入（6）得

1.3 MATLAB计算磁感应强度

已知函数的积分表达式时，理论上可以用牛顿莱布尼茨公式求解，但在磁场计算中并不实用，大多数函数找不到积分函数。MATLAB提供很多数值积分的命令函数，可以根据实际情况调用，不但方便而且精确。表1列出了部分数值积分命令。

表1 积分命令表

本文用到的积分命令是dblquad，dblquad实际上是重复调用quad实现的。quad的原理是自适应辛普生求积法。如果用二次插值多项式——抛物线y=g（x）所围成的曲边梯形的面积近似代y=f（x）所围成的曲边梯形的面积，这时所得的积分公式称为辛普生公式：

当上述变步长辛普生积分法用于计算二重积分时，数值积分的处理方法是将二重积分（10）分解为式（11）和式（12）：

在MATLAB环境下编程，将（7）中的模型转化为fun（θ，Z0）的M文件，通过B=dblquad（fun，a，b，c，d，tol）来实现模型的求积。其中，a和b为θ的上下限，c和d为Z0的上下限，tol为积分精度（默认精度10e-6）。

2 实例求解及实验验证

2.1 模型验证

根据以上推导的圆柱永磁体空间磁场强度的模型，在MATLAB环境下编程仿真。仿真和实验用的永磁体各项参数如表2所示。

表2 圆柱永磁体材料和尺寸参数

以圆柱永磁体底面圆心为坐标原点，圆柱的中轴为Z轴，建立如图2所示的坐标系。在永磁体上表面Z轴上取如表3所示的12个场点，通过计算、测量及和磁偶极子模型的结果进行比较。计算和测量结果如表3。

表3 测量值和计算值比较

当z=45mm时，在X轴上取如表4所示的12个点，计算和测量值如表4所示。

表4 测量和计算值比较表

由表2和表3可知，本文提出的模型的计算结果和测量值吻合。磁偶极子模型的计算结果和实际值相差较大，但能反映磁感应强度的变化趋势。测量值略小于本文模型计算值，主要原因是理论剩磁大于实际剩磁［13］。本文提出的方法能满足工程计算需求。

2.2 圆柱形永磁体空间磁场仿真研究

图2给出了圆柱永磁体Bz随离开上表面距离变化的曲线。由图2可知，从永磁体上表面到z=60mm的范围内，Bz值迅速下降；当z＞60mm时，Bz的值下降缓慢；图3是当Z=25mm、Y=0mm时Bz、BX沿X轴的分布规律图。Bz为轴对称分布而BX为中心对称分布。这与实际观察情况相符。

图2 BZ沿着Z轴的分布

图3 Y=0mm，Z=25mm时，BX、BZ沿X轴分布

图4、5是BZ、BX在xoy平面的分布情况，当x=r0或x=-r0时，BZ、BX会达到极值，BX在x=0时为0；BZ、BX在Z轴方向上开始衰减比较迅速。

图4 BZ在xoz平面内的分布

图5 BX在xoz平面内的分布

图6、7是当z=25mm时，平行于xoy平面上的BZ、BX分布情况。

图6 在z=25mm的平面内，BX分布

图7 在z=25mm的平面内，Bz分布

By的分布和Bx相似，只是场强的方向不同。只要将图4、5中的X轴换成Y轴就可以得到By的分布图。

3 结论

①本文给出了圆柱形永磁体的建模方法，推导出求解圆柱形永磁体外空间任意一点的磁感应强度模型。通过和磁偶极子模型对比，本文提出的模型和实测值更吻合，完全满足工程需求。

②通过MATTALAB的数值积分功能，省去了对积分公式进行离散化的复杂求导过程。因此，避免了积分公式递推过程中的稳定性问题、精度问题和溢出问题等。

③MATLAB的可视化功能，方便地表示出感应强度的大小和分布规律。

④从宏观上讲，本文推导的模型中场点的值仅取决于所有源点对其的影响，它们之间是通过毕奥-萨伐定理联系起来的。如果永磁体的参数是常数，那么计算值就不会因为方法本身而产生误差。因此，本文采用的方法精度更高。

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Modeling and Simulation for Cylinder Permanent Magnetic Field

Zhou Enquan1Zheng Zhongqiao2Zhang Yanhong2Wang Qirui3
（1.Haian Jaorui Talent Robot Technology Co.,Ltd.，Nantong Jiangsu 226000；2.Changzhou Institute of Technology，Changzhou Jiangsu 213032；3.Key Laboratory of Modern Agricultural Equipmentand Technology，Jiangsu University，Zhenjiang Jiangsu 212013）

To find the convenient and simple calculation method of magnetic field for cylinder permanent magnet,based on permanent magnet equivalent electric current model and,regarded magnetization magnetiz⁃er effect as surface current on magnetizer,this paper presents the law of magnetic field spatial distribu⁃tion,derives the analytical formulae of magnetism induction density in space for cylinder permanent,and get the answer of the magnetism induction density for cylinder permanent,through the numerical integration function of MATLAB.The result shows that calculated results are in agreement with those actually-mea⁃sured.It is convenient and simple and can derive precision calculation results by the magnetic field equiva⁃lent model of permanent magnet and numerical integration method.

permanent magnet；magnetic field；numerical integration；magnetic induction

永磁材料为重要的功能材料，目前应用最多的是圆柱形永磁体、方形永磁体、扇形永磁体和环形永磁体等［1］。随着永磁体应用领域的扩大，准确得到永磁体磁场分布和大小成为关键问题。计算永磁体磁场有解析法［2-4］、电磁积分方程法［5］、有限元法［6-7］、等效磁网络法［8］和数值解析结合法［9］。目前，国内研究圆柱永磁体磁场分布有磁偶极子［1］和经验公式法［10］等。磁偶极子法要求场点半径要远大于圆柱永磁体的半径，因此在圆柱体半径不能忽略时误差很大。经验公式法，如曹辉［10］提到的圆柱形永磁体磁感应强度计算公式，只能估算圆柱轴线上的磁感应强度。经验公式法中的经验系数要通过大量试验才能得到［11］，该方法计算精度较低。为了寻求圆柱永磁体磁场简便而精确的算法，本文将根据永磁体等效电流模型，推导出用于计算圆柱形永磁体外空间任意场点磁感应强度数学模型，并通过MATLAB多重数值积分功能［12］，简化求解过程，提高求解精度。通过实验验证，计算值和实验值吻合。

TM144

A

1003-5168（2017）11-0139-05

2017-10-09

江苏省自然科学基金资助项目（BK20151182）。

周恩权（1984-），男，硕士，工程师，研究方向：机械设计理论及高可靠性磁力系统。