解决解析几何直线和圆锥曲线相交中目标消元问题

2018-01-05承艳

数学学习与研究 2018年21期

承艳

高考中考查直线与圆锥曲线的位置关系的问题是常考题型，经久不衰.一般来说，此类问题计算量较大，尤其是多字母运算，也即多元问题.如何处理多元问题是学生难点，如果学生在处理上方向不明、操作不当，往往会出现理论上方法可行，而在高考限定时间内实际操作却十分困难的情况.本文就解决处理多元问题总结以下几个方法.

一、找韦达定理

法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理.由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理.在直线与圆锥曲线的位置关系的问题中，韦达定理可以把交点坐标转化为系数的钥匙.下面我们来看一个案例.

案例1 如图所示，已知椭圆C： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）的离心率是 3 2 ，一个顶点是B（0，1）.

（Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ.试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标;若不是，说明理由.

（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距为c.依题意，得b=1，且e2= c2 a2 = a2-1 a2 = 3 4 ，解得a2=4.所以，椭圆C的方程是 x2 4 +y2=1.

（Ⅱ）证：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m.

将直线PQ的方程代入x2+4y2=4，

消去y，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则x1+x2=- 8km 1+4k2 ，x1·x2= 4m2-4 1+4k2 . ①

因为BP⊥BQ，且直线BP，BQ的斜率均存在，

所以 y1-1 x1 · y2-1 x2 =-1，

整理得x1x2+y1y2-（y1+y2）+1=0. ②

因为y1=kx1+m，y2=kx2+m，

所以y1+y2=k（x1+x2）+2m，y1y2=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2. ③

将③代入②，整理得

（1+k2）x1x2+k（m-1）（x1+x2）+（m-1）2=0. ④

将①代入④，整理得5m2-2m-3=0.

解得m=- 3 5 ，或m=1（舍去）.

所以，直线PQ恒过定点 0，- 3 5 .

说明：在目标方程x1x2+y1y2-（y1+y2）+1=0中，很明显有韦达定理，通过套它把目标整理成为5m2-2m-3=0.

用直线的系数m来表示从而达到解出题的效果.

说明：在目标多元方程 y-y1 y2-y1 = x-x1 x2-x1 中，通過上面得（1+4k2）x2+8kx=0.

利用韦达定理x+x1=0+x1= -8k 1+4k2 .解得x1= -8k 1+4k2 ，同理解得其他坐标，代人目标多元方程整理成为 y- 1-4k2 1+4k2 1-4k2 1+4k2 - k2-4 k2+4 = x+ 8k 1+4k2 -8k 1+4k2 - 8k 4+k2 .用直线的系数k来表示从而达到解出题的效果.

二、找方程

直线与圆锥曲线的位置关系的问题，本质是方程问题，如果能够现有的资源来处理目标多元方程，那样岂不是更好，下面我们来看这个案例.

案例2 方程的已知A是圆x2+y2=4上的一个动点，过点A作两条直线l1，l2，它们与椭圆 x2 3 +y2=1都只有一个公共点，且分别交圆于点M，N.

① 求证：对于圆上的任意点A，都有l1⊥l2成立;

② 求△AMN面积的取值范围.

【答案】① 证明：当直线l1，l2的斜率有一条不存在时，不妨设l1无斜率.

∵l1与椭圆只有一个公共点，所以其方程为x=± 3 .

当l1的方程为x= 3 时，此时l1与圆的交点坐标为（ 3 ，±1），所以l2的方程为y=1（或y=-1），l1⊥l2成立，

同理可证，当l1的方程为x=- 3 时，结论成立;

当直线l1，l2的斜率都存在时，设点A（m，n），且m2+n2=4.

设方程为y=k（x-m）+n，代入椭圆方程，可得（1+3k2）x2+6k（n-km）x+3（n-km）2-3=0.

由Δ=0化简整理得（3-m2）k2+2mnk+1-n2=0.