导数法在高中数学解题中的应用

沈作翔

【摘要】 导数是微积分中的一个重要概念，能够大大简化解不等式及方程的步骤，在高中数学中占有很重要的地位，新课改中要求学生能够熟练掌握导数的相关知识及应用.在此背景下，本文对导数解题方法进行了相关探究，希望对大家有所帮助.

【关键词】 高中数学;导数法;解题应用

在历年高考试卷中，导数占据着非常大比例的分数，命题人通常将导数与不等式、函数和生活实际问题相结合，在试卷中呈现不同难度的试题，从而考查学生运用导数的综合能力.

一、巩固基础，把握概念

基础知识是综合能力的前提，在授课过程中，教师要引导学生了解导数的概念及其在某些运用中的背景（如，加速度、瞬时速度、光滑曲线的斜率等），使他们熟记导数的基本公式，掌握和、差、积、商的求导法则，理解复合函数的求导法则.在学习中，学生要能够把握函数在一点处的定义，牢记导数的几何意义.只有在理解概念的基础之上，通过深挖和外延导数的概念，才能巩固自身的基础知识，进而顺利拿到该拿的基础分数，最终取得理想的成绩.

以下面这道习题为例：

例1   已知函数f（x）=-x3+ax2-4在x=2处取得极值，若m，n∈[-1，1]，则f（m）+f′（n）的最小值为 .

分析  ∵f′（x）=-3x2+2ax，

函数f（x）=-x3+ax2-4在x=2处取得极值.

∴-12+4a=0，

解得a=3，∴f′（x）=-3x2+6x，

∴n∈[-1，1]時，f′（n）=-3n2+6n，当n=-1时，f′（n）最小，最小为-9.

当m∈[-1，1]时，f（m）=-m3+3m2-4，

f′（m）=-3m2+6m，

令f′（m）=0得m=0，m=2，

所以m=0时，f（m）最小为-4，

故f（m）+f′（n）的最小值为-9+（-4）=-13.

本题是由一道选择题改编而成，过程较为简单，学生在考试时，需要牢牢把握住这类分数.

二、全面分析，求解函数单调性

在试题中，命题人利用导数来研究函数的单调性，是近年来命题的热点，其中由单调性证明不等式是综合试题中的一个难点.教师可以着重讲授函数的单调性与导数的关系，指导学生能够灵活运用导数来求取极值和最值，在中学范围内，所涉及求导问题的函数都是可导函数，因此，导数是研究函数性质的一个利器.在做题过程中，学生可以运用导数对试题进行全面分析，从而提升解决函数单调性的能力.单调性的题目在试卷中属于中等难度，学生要想取得理想的成绩，就要牢牢抓住这部分的分数.

三、提升能力，解决应用问题

在综合试题中，命题人常常将不等式、方程解综合起来，整体考查学生的数学思维.在此背景下，教师传授学生导数的内容，提升他们解应用题的能力，使其通过仔细审题抓住题目的本质，理解题干材料中每句话的意思，解答综合性的试题.学生要在理解题目的基础上，认真分析题干的要求，正确选择合理的解题方法，从而快速解决问题，多争取这部分难度较高的分数.

例2   （2016年江苏高考卷）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（如右图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的四倍.

（1）若AB=6 m，PO1=2 m，则仓库的容积为多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？

这道题是考查导数的综合运用，体现出一种较高的命题水准，需要学生综合运用立体几何中的棱锥、棱柱体积及转化数学思想.

分析  （1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的四倍，可得PO1=2 m时，O1O=8 m，进而可得仓库的容积;

（2） 设PO1=x m，则O1O=8 m=4 m，A1O1= 36-x2  m ，A1B1= 2  36-x2  m，代入体积公式，则可以求出容积的相关表达式，从而利用导数的方法，取得最大值.

总之，数学教师应当重视导数的教学工作，通过讲练结合的方式，规范学生的答题步骤，争取将基础和中等难度的试题分数拿到手，“跳一跳”拿到拔高的分数，从而取得较好的考试成绩，最终进入理想的高校进行深造.

【参考文献】

[1]张雨桐.刍议高中数学中的立体几何解题技巧[J].科技风，2017（4）：30.

[2]高健成.简析高中数学不等式易错题型及解题技巧[J].亚太教育，2016（11）：54-55.