关于高中数学圆锥曲线的教学研究

梁向

【摘要】 圆锥曲线问题一直以来都是高中数学的一大考点.凭借着它自身的综合性、严谨性和灵活性，更能考验学生对知识点的掌握程度.同样的，在历年的高考数学试题中，关于圆锥曲线的考查，更是重中之重.虽然圆锥曲线学习难度比较大，但也是有一定规律的.在日常教学中，我们应该引导、帮助学生发现掌握其规律和技巧，加深学生的熟悉程度，能够进一步迅速做出正确解答.本文我们将对椭圆（圆为椭圆中的特例）、双曲线和抛物线中的定点、定值问题的方法和技巧进行简要的分析、总结归纳.

【关键词】 高中数学;圆锥曲线;定点;定值

在高中数学教学过程中，圆锥曲线一直是学生学习的一大难点，也是一大重点.其中一般包括了椭圆（圆为椭圆中的特例）、双曲线和抛物线.纵观以往的教学经历，发现对圆锥曲线的考查更能体现学生对它所在整个学科的熟悉、掌握和运用程度.相应的，高中数学考查内容的重点也向这方面有所倾斜.

关于对圆锥曲线定点和定值问题的考查已经成为考试中的常见问题，涉及的题型也是多种多样，小到选择题，大到最后的压轴题.通过对这类问题的考查，更能看出学生的思维逻辑的条理性、计算能力的严谨性和对所学数学内容的综合理解能力和灵活变通能力.与之对应的，此类问题的考查已经成为高考的热门之一.

一、关于定点的简要讨论

（一）对定点问题的考查类型

通过对往年高考数学考题的分析和总结，我们发现对椭圆、双曲线和抛物线中过定点的考查包括了选择题、填空题和解答题.考查方式也是不一而同，比如，“论证直线与圆锥曲线相交是否有过定点的问题”“论证是否过定点（x，y）”“求解所过定点坐标”等等.

在选择题型中，考生常见到的是“选择它们所过的定点坐标是什么”.这类问题计算要求和思维逻辑要求难度比较低，解答也相对比较容易.

对卷面的分析，对圆锥曲线的考查更容易出现在解答题或者论证题中，同时它们也是整张试卷的压轴题.此时学生解答或者论证过程中需要清晰的思路、严谨的计算和灵活变通.例如，在2011年试卷中的相关题目“点A和点B是定点（1，0）的直线l与椭圆E：x2÷2+y2=1相交两个点，当直线l发生变化时，在x轴上是否存在一定点R，使x轴是∠ARB的平分线？若存在，求出点R的坐标.”此时，学生需要的不仅是简单的计算，如果头脑中没有一个清晰的思路，基本上会步步出错.

（二）关于定点方面问题的解答思路

关于曲线方程中对定点问题的解答，大致可通过两个方向进行解答.一类是根据题目中的已知信息和潜藏信息通过直接的论证和计算进行解答;另一类是通过问题所问，从侧面代入推断其存在的合理性.两类方法各有其优缺点，针对不同的题目亦需要学生进行甄别选择.

直接法对考生知识储存和灵活运用有较高的要求.在解答曲线方程过程中，学生需要对椭圆（圆为椭圆中的特例）、双曲线、抛物线的特点有深刻地了解，能够在已知题目信息中结合相关曲线方程的特点发现潜藏的信息，而后对这些信息进行总结归纳，通过一定的逻辑语言表达论证得出正确的结论.而第二种方法更多是从问题中寻找答案，将所问的内容代入题目信息进行验证[1].

与此同时，考生需在日常习题训练中做到数形结合，“一题一图”的要求也不为过分.在作图过程中能将深奥复杂的逻辑通过简单直接的书面形式表达出来，学生接收理解信息的难度也会因此降低.

从本质上讲圆锥曲线是通过一元二次方程进行表达.因此，学生可以利用一元二次方程的特性与题目产生联系，进而会得到更深层次的解题条件，灵活运用坐标法、设而不求法、点差法向答题方向靠拢.例如，2015年高考试卷中的20题：在直角坐标系xOy中，曲线C：y=x2÷4与直线l：y=kx+a（a>0）交于M，N两点.请问，y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN，并说明理由.

这是曲线方程中关于定点的经典题目.考查学生对新问题的探索和运算能力，首先根据题目中曲线C方程可知点M（2 a ，a），N（-2 a ，a）或M（-2 a ，a），N（2 a ，a）.其次做出判定，利用设而不求法将y=kx+a代入曲线C方程，将其整理成关于x的一元二次方程，再设出M，N的坐标和点P的坐标，将直线PM，PN的斜率之和用a来表示，再利用PM，PN斜率和为0导出a，b关系，从而找出适合条件的点P.具体解法如下：

设存在点P（0，b）符合题意，M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将y=kx+a代入曲线C方程，整理可得x2-4kx-4a=0，所以x1+x2=4k，x1x2=-4a，则k1+k2=（y1-b）÷x1+（y2-b）÷x2，代入曲线方程可得k1+k2=k（a+b）÷a，当b=-a时，k1+k2=0，则直线PM的倾斜角和直线PN的倾斜角互补，所以∠OPN=OPM，存在P（0，a）符合题意.

在对曲线方程定点求解時，我们需要教导学生明白什 么是定，什么是不定，如何在不定中寻求定的信息.考生应该时刻谨记在圆锥曲线中关于曲线的特性是永远不会改变，造成定点问题的关键是某些几何量与曲线参数无关性.

在选择题中关于定点的解答最优的办法是将选项或者特殊值带入进行运算推论，较为高效地做出正确解答.而在解答论证题中，较多使用设而不求法和特殊值带入法能有效地将问题化繁为简，大大降低解题难度[2].

例如，曲线E： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e= 1 2 ，过F1的直线交曲线E为A，B两点，且三角形ABF2周长为8.现设一动直线l：y=kx+m与曲线E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，请问在平面坐标内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？试证明.

这是一道开放性比较强的题目，解答之前，我们可以较为容易得出曲线E的方程为 x2 4 + y2 3 =1.根据椭圆关于x轴的对称性，过F1的直线与椭圆的两个交点也会关于x轴对称，通过这些可以判断出若存在定点M，则M一定在x轴上，更进一步取特殊值直线过椭圆顶点的切线，圆与x轴相较于M（1，0），N（3，0），当切点在第一象限，∠PNQ一定是钝角，则点N不存在，若存在定点则为点M（1，0）.具体解析就不用再说了.

二、浅析曲线方程中的定值问题

（一）圆锥曲线中定值的考查方式

相交于曲线方程中的定点问题，近几年高考对于定值问题考查比例偏大.在这五年中，对于曲线方程中定值定点的考查共31道，定值问题更是占有19道之多.这些题目往往通过曲线方程与直线的关系进行表述.涉及的题型主要是选择题和解答论证题.

在选择题中，解答的难度相较于论证题会有所降低，答题思路和运算简单清晰.题目考查的重点是考生对圆锥曲线特性的掌握熟悉程度，答案也是有迹可循的.

出现在填空题时，难度会比选擇题大，这时候考查的主要是学生的运算能力.例如，在2016年江苏省数学试卷中的那道题：抛物线4x=y2的弦AB过焦点F，则三角形ABC的S2与|AB|的比值为（  ）.在解答这道题的时候，考生需要了解抛物线的特性，将其特性代入进行运算即可得到正确结果.

当曲线方程中定值作为解答题出现时，它的难度会有一个几何式的增长，这时考验的不仅仅是学生对其掌握程度或是简单的运算，它将更深层次考验思维逻辑辩证、运算紧密性和其他知识的旁敲侧引.例如，2012年高考试卷中的21题：已知抛物线C：y=（x+1）2与圆M：（x+1）2+（y-05）2=r2（r>0）有一个公共交点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到直线l的距离.通过题目所问可知点D到直线l的距离是一个定值，下面所求的是这个定值是多少.

（二）定值问题的解答技巧

与（一）中所述对应题目类型，我们一一进行阐述.

首先对于选择题中曲线定值问题，我们可引导学生利用对曲线方程的了解将特殊值或者选项代入计算，看它们在题目条件中存在的合理性进行判别.这点与定点问题比较类似，却又不像它那么简单，具体问题还需要具体甄别.

由于填空题题干相应简单精练，所以考查的内容不会太过复杂，答案一般是较为特殊的数值，但并不是说可以不去掌握这方面的内容.作答过程中尽可能地去掉等式中的变量，这样就会迅速得出正确结果.

再说就是论证解答题中对定值问题的研究了.怎么说呢？21题一般是高考数学试卷大题中的大题，它的出现意味着难度的空前增大，而曲线定值往往就会在此刻出现.解题方法也是大致分为两种，即直接法和间接法.下面我们试分析2012年高考试卷中所出现的这道题目[3].

由题意可简单推理出圆M的方程为（x+1）2+（y-05）2=1.25（具体解答此处省略）.首先我们先假设（a，（a+1）2）为抛物线C上一点，则该点处的切线方程为y-（a+1）2=2（a+1）（x-a），化简得y=2（a+1）x+1-a2.又因为该直线与圆M相切，到圆心的距离为  5  2 ，化简可得a2（a2-4a-6）=0，解得a0=0，a1=2+ 10 ，a2=2- 10 .由于抛物线C在（av，（a+1）2）（v=0，1，2）处的切线分别是l，m，n，其方程为① y=2x+1;② y=2（a1+1）x-a1+1;③ y=2（a2+1）-a2+1.后两式相减得：x=（a1+a2）÷2=2，将x=2带入②可得y=-1，D（2，-1），进而可求解出点D到直线l的距离.

三、结束语

随着历年高考的不断变更，对数学中圆锥曲线的考查也变得多种多样，题目类型也会随之更加新颖和完善.作为高考数学的热门问题，曲线方程一直都是以常青树的形象存在于试卷中的方方面面，其中对定值定点的考核相较于最大值最小值的考核比重日益加大.在我们日常教学中，应时时刻刻教导学生对圆锥曲线有较为清晰的认识，熟悉它们的特性，综合其他知识灵活运用设而不求法、极值和特殊值代入法、转化法以及坐标法进行作答.同时适时对该类题 型整合分析，引导学生发现其中规律，在考场上做出迅速解答.

【参考文献】

[1]戴团结.圆锥曲线中的定值、定点问题[J].考试周刊，2015（59）：60-61.

[2]姚红.圆锥曲线中一类定点问题的研究[J].数学通讯：教师阅读，2015（8）：41-43.

[3]赵玲燕.巧用变式探究方法，激活学生数学思维——对圆锥曲线中的定点、定值问题的教学思考[J].课程教育研究，2014（36）：208-209.