极值点与拐点的判别方法研究

姜涛

【摘要】 极值点与拐点是高等数学研究函数性质的两个重要概念，也是函数的重要特征.本文由极值存在的第二充分条件入手，并对其进行推广，得出在更一般的情况下，极值点与拐点存在的充分条件.新充分条件较以往的条件更具普遍性，扩大了判断范围.

【关键词】 极值点;拐点;导数;充分条件

极值点和拐点是高等数学研究函数性质的两个重要概念，它们对函数的图形描绘起着重要作用[1，2].有文献对函数的极值点和拐点进行了讨论[3，4].一般来说，求函数的极值点和拐点是通过求函数的一阶和二阶导函数的零点，再通过判断它们在零点两侧是否异号，从而判定是否为极值点和拐点[5].

从为了使本文完整可讀起见，在给出新的极值点与拐点充分性判别法之前，先将曲线拐点的定义及我们所熟知的定理写在下面.

定义1  设函数y=f（x），在点x0及其附近有定义，若对点x0附近任一点x（x≠x0），均有

（1）f（x）<f（x0），则称f（x0）为y=f（x）的极大值，x0为极大值点;

（2）f（x）>f（x0），则称f（x0）为y=f（x）的极小值，x0为极小值点.

定义2  若连续曲线y=f（x）上的点P（x0，f（x0））的一边是凹的，而另一边是凸，则称点P（x0，f（x0））是曲线y=f（x）的拐点.

定理1 （极值存在的第一充分条件） 设函数y=f（x），在点x0及其附近可导，且存在δ>0.

（1）若当x∈（x0-δ，x0）时，f′（x）>0，当x∈（x0，x0+δ）时，f′（x）<0，则x0为函数的极大值点;

（2）若当x∈（x0-δ，x0）时，f′（x）<0，当x∈（x0，x0+δ）时，f′（x）>0，则x0为函数的极小值点;

（3）若f′（x）的符号不变，则x0不是函数的极值点.

定理2 （极值存在的第二充分条件） 设函数y=f（x）在点x0处有一、二阶导数，且f′（x0）=0，f″（x0）≠0.

（1）若f″（x0）<0，则x0为极大值点;

（2）若f″（x0）>0，则x0为极小值点.

定理3 （拐点存在的充分条件） 设y=f（x）在（a，b）内二阶可导，x0∈（a，b），且f″（x0）=0，若在x0两侧附近f″（x0）异号，则点（x0，f（x0））为曲线的拐点.否则（即f″（x0）保持同号），（x0，f（x0））不是拐点.

一、新充分条件及证明

在定理2基础上，提出新的极值与拐点存在充分条件的定理.

定理4  设函数y=f（x）在点x0处有连续n（n≥2）阶导数，且f′（x0）=…=f（n-1）（x）=0，f（n）（x0）≠0.

（1）若n为偶数，则x0为f（x）的极值点，且当f（n）（x0）<0时，则x0为f（x）的极大值点，f（x）在x0处取得极大值f（x0）;

当f（n）（x0）>0时，则x0为f（x）的极小值点，f（x）在x0处取得极小值f（x0）.

（2）若n为奇数，则（x0，f（x0））为f（x）的拐点.

证明  ① 证明当f（n）（x0）<0时，结论（1）成立.

当n=2时，由定理2可知，定理4结论（1）成立.

设当n=2k时，定理4结论（1）成立，

当n=2k+2时，因f（n）（x）=f（2k+2）（x）=[f（2）（x）]（2k），故

当f（n）（x0）<0时，则x0为f（2）（x）的极大值点，f（2）（x）在x0处取得极大值f（2）（x0）=0，

所以x∈（x0-δ，x0+δ）时，f（2）（x）≤0，f（1）（x）单调递减，因此，当x∈（x0-δ，x0）时，f（1）（x）>f（1）（x0）=0;当x∈（x0，x0+δ）时，f（1）（x）<f（1）（x0）=0.

由定理1可知，x0为f（x）的极大值点，f（x）在x0处取得极大值f（x0），即定理4结论（1）成立.

综上所述，若n为偶数，当f（n）（x0）<0时，结论（1）x0为f（x）的极大值点，f（x）在x0处取得极大值f（x0），即定理4结论（1）成立.

同理，当f（n）（x0）>0时，结论（1）x0为f（x）的极小值点，f（x）在x0处取得极小值f（x0）成立.

② 证明若n为奇数，则（x0，f（x0））为f（x）的拐点，

f（n）（x0）≠0，不妨设f（n）（x0）>0，

当n=3时，f（3）（x0）=lim x→x0  f（2）（x）-f（2）（x0） x-x0 >0.

因此，当x∈（x0-δ，x0）时，f（2）（x）<f（2）（x0）=0;

当x∈（x0，x0+δ）时，f（2）（x）>f（2）（x0）=0.

由定理3可得，（x0，f（x0））为f（x）的拐点，即定理4结论（2）成立.

设当n=2k+1时，定理4结论（2）成立，

当n=2k+3时，因f（n）（x）=f（2k+3）（x）=[f（3）（x）]（2k），故由定理4结论（1）可知，

f（3）（x）在x0处取极小值，所以x∈（x0-δ，x0+δ）时，f（3）（x）≥0，f（2）（x）单调递增，

因此，当x∈（x0-δ，x0）时，f（2）（x）<f（2）（x0）=0;

当x∈（x0，x0+δ）时，f（2）（x）>f（2）（x0）=0.

由定理3可得，（x0，f（x0））为f（x）的拐点，即定理4结论（2）成立.

同理，f（n）（x0）<0時，定理4结论（2）成立.

综上所述，若n为奇数，则（x0，f（x0））为f（x）的拐点，定理4结论（2）成立.

综上所述，定理4结论得证.

二、应用举例

例  已知函数f（x）在x=x0处n阶可导，且满足 lim x→x0  f（x）-2 （x-x0）n =k，讨论函数f（x）在x=x0处的极值情况.

解  函数f（x）在x=x0处n阶可导，

因 lim x→x0  f（x）-2 （x-x0）n =k，

故 lim x→x0  f（x）-2 （x-x0）n =lim x→x0  f（1）（x） n（x-x0）n-1 =…

=lim x→x0  f（n-1）（x） n（n-1）…2（x-x0） =lim x→x0  f（n）（x） n！ =k，

所以f（x0）=2，f（1）（x0）=…=f（n-1）（x0）=0，

f（n）（x0）≠0.

显然，k>0时，f（n）（x0）>0;k<0时，f（n）（x0）<0.

由定理4可知，

当n为偶数且k>0时，f（x）在x=x0处取极小值，极小值为f（x0）=2;

当n为偶数且k<0时，f（x）在x=x0处取极大值，极大值为f（x0）=2;

当n为奇数时，f（x）在x=x0处无极值.

三、结 论

本文得出的结论更具普遍意义，定理4及相关推论为极值点与拐点的判断提供了一种新的方法，扩大了适用范围.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析：第2版[M].北京：高等教育出版社，1997.

[2]刘玉琏，付沛仁.数学分析讲义：第3版[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3]毛一波.曲线的拐点和极值[J].重庆文理学院学报（自然科学版），2006（5）：13-15.

[4]明万元，黄香蕉.一种判断多项式函数极值点和拐点个数的简单方法[J].大学数学，2011（6）：161-163.

[5]于淑兰.关于曲线拐点的判别法[J].数学实践与认识，2003（1）：99-101.