基于非完全逻辑范式的微分中值定理应用的教学研究

2018-01-05王以忠

数学学习与研究 2018年21期

关键词：创新应用

【摘要】本文提出了非完全逻辑范式的教学概念，研究了基于非完全逻辑范式的微分中值定理应用及相关问题的教学问题，打破了传统数学教学中重视逻辑思维和逻辑推理而轻视甚至排斥非逻辑因素的理念，给出了一些数值例子，这些例子说明了我们的方法的有效性.

【关键词】非完全邏辑范式;微分中值定理;应用;创新

【基金项目】山东省教育科学“十二五”规划课题资助项目（YBS15002）.

一、引言

高等数学是工程类、金融和经济类各专业人员的重要理论基础，高等数学及相关课程教学水平的高低直接影响到我们培养人才的质量，因此，相关的教学研究引起了广泛的关注和重视，这方面的研究涌现出了许多优秀的成果[1-8].

微分中值定理是高等数学的教学重点也是教学难点，相关问题的研究也是教学研究的热点.文献[9]对微分中值定理中值点的渐进性的问题进行了深入的探讨，将有关结论推广到了区间的任意点，得到了一些新的更具有普遍意义的结果.文献[10]利用几何分析方法，就拉格朗日中值定理和柯西中值定理给出了新的证明方法，并研究了微分中值定理的应用问题.文献[11]基于拉格朗日插值方法，将中值定理推广到了高阶的情形，得到了一些新的结果.微分中值定理的教学是发展学生的逻辑思维能力和逻辑推理能力的重要载体，也是发展学生的创新能力的重要载体，但相关内容的教学中偏重于逻辑、方法和技巧而忽视非逻辑因素的现象非常普遍，而非逻辑思维恰恰是发展创新能力的重要方式，因此，这一部分的教学平衡逻辑思维和非逻辑思维的教学问题值得研究和探索，本文就微分中值定理的应用教学这一问题展开一些研究.

非完全逻辑教学范式就是结合逻辑思维与推理和非逻辑思维来研究和解决问题的一种范式.非逻辑教学范式是逻辑教学范式的重要补充，它不追求推理的严密性，而注重发现、探索和创新.很多创新并不是严密逻辑思维的结果，而是非逻辑思维的结果，因为探索的过程是曲折和复杂的.运用猜想、直觉、观察、经验、灵感和试错等方式往往会取得令人意想不到的结果.教学实践证明：在微分中值定理及相关问题的教学中引入非逻辑教学范式效果良好.

二、基于假设与猜想的辅助函数的构造

微分中值定理的应用是考研数学的高频考点，它有两方面的问题需要解决：一是函数的构造问题，另一个是区间的选择问题.特别是寻找函数是个难点，下面通过实例借助于非逻辑教学范式来解决下列问题.

问题1 设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=0，k为正整数，证明存在一点ξ∈（0，1），使得ξf′（ξ）+kf（ξ）=f′（ξ）.

首先，我们界定问题，根据问题的条件，我们认为这是一个罗尔定理问题，解决问题的难点在于寻找罗尔定理所涉及的函数，不妨记为F（x）.那么结合罗尔定理的结论可知，要证明的结论应是函数F（x）在某点处的导数为零而整理的结果.先把要证明的结论整理为

（ξ-1）f′（ξ）+kf（ξ）=0. （1）

根据这个式子猜想要寻找的函数F（x）可能是某两个函数的和或是两个函数的乘积或是两个函数的商，在此考虑乘积的情况.再考虑到可能的约分运算，猜想未约分前式（1）应为

（ξ-1）u（ξ）f′（ξ）+ku（ξ）f（ξ）=0. （2）

假设F（x）=f（x）g（x），那么，依据函数乘积的求导法则有

其中C为常数，取C=1，则F（x）=（x-1）kf（x），再根据罗尔定理便可证明问题1的结论.

问题2 设f（x）在[0，4]上二阶可导，且f（0）=0，f（1）=1，f（4）=2，证明存在一点ξ∈（0，4），使得f″（ξ）=- 1 3 .

我们也把这个问题界定为罗尔定理问题.要证明f″（ξ）=- 1 3 ，就是要证明f″（x）+ 1 3 =0有根，假设存在函数F（x），它满足

F″（x）=f″（x）+ 1 3 ，（7）

且它在[0，4]的某两个点处的导数值相等，并假设其导数值为零，即假设F′（x1）=F′（x2）=0，x1，x2∈（0，4）.

就（7）式两边连续积分两次，并考虑到f（0）=0，可得

这个问题的积分过程比较简单，再看一个比较复杂的例子.

问题3 设f（x）在[0，1]上二阶可导，且f（0）=f（1）=0，证明在（0，1）存在一点ξ，使得ξ2f″（ξ）+4ξf′（ξ）+2f（ξ）=0.

我们也要在一系列假设之下尝试寻找辅助函数，所需要的条件即便没有给出，我们也假设它成立，这种非逻辑方式对于问题的解决往往是很有效的.

假设函数F（x）满足F（0）=F′（0）=0和

F″（x）=x2f″（x）+4xf′（x）+2f（x），（10）

再假设f（x）满足f′（0）=0.

式（10）两边积分

∫x0F″（t）dt=∫x0t2f″（t）dt+∫x04tf′（t）dt+∫x02f（t）dt

=x2f′（x）+2∫x0tf′（t）dt+∫x02f（t）dt

=x2f′（x）+2xf（x）. （11）

F′（x）=x2f′（x）+2xf（x）. （12）

式（12）两边再积分可得F（x）=x2f（x）.利用这个辅助函数便可证明问题的结论.

在上面的例子中，寻找辅助函数，我们运用了猜想、假设和直觉等方式解决了问题.这一过程并不是一个严密的逻辑推理过程，但可以解决问题.长期有意识地进行这样的训练对于培养学生的创新思维和创新能力是极有益的.

三、中值定理在极限计算中的应用

接下来看一个极限运算问题： lim x→+∞ （arctan x+1 -arctan x ）.

如果学生对函数的导数和微分中值定理理解比较深刻且能熟练运用的话，处理这个问题就会感觉比较简单.

让我们从函数的导数说起，函数的导数是一种变化率，它研究当自变量变化后，函数的改变量相对于自变量的改变量的比率.考虑函数y= x ，其导数y′= 1 2 x ，当x充分大时，导数的值很小，说明当自变量充分大时，自变量的变化不会引发因变量的显著变化，那么，函数y= x 在x充分大时，自变量从x变到x+1，因变量的变化很小.而函数f（x）=arctan x 在其定义域内是连续的，因此，有理由猜想 lim x→+∞ （arctan x+1 -arctan x ）=0.从这个角度解释，学生会对问题的理解更加深刻.此极限涉及函数值的差，应联想中值定理.

就函数f（x）=arctan x 在区间[x，x+1]上运用中值定理，则有

arctan x+1 -arctan x = 1 2 ξ （1+ξ），0<x<ξ<x+1. （13）

当x→+∞时，有ξ→+∞，易知 lim x→+∞ （arctan x+1 -arctan x ）=0.

四、借助于直观的非逻辑范式

再看一个例子，设函数f（x）在[0，1]上二阶可导，且f（0）=f（1）=0，f 1 2 =1，求证至少存在一点ξ使得f′（ξ）=1.

我们先来直观地分析一下，f（0）=0，f 1 2 =1，如果动点沿直线从点（0，0）到 1 2 ，1 ，那么，该直线的斜率为k1=2，如果沿曲线运行，不是匀速上升，显然，动点在某些点处的速度会大于2，即曲线所对应的函数在这些点处的导数大于2，那么，在区间 0， 1 2 内必存在一点，函数在该点处的导数大于1.同理，在区间 1 2 ，1 内也必存在一点，函数在该点处的导数小于1，再根据介值定理即可解决问题.

函数f（x）设函数在[0，1]上二阶可导，显然f（x）在 0， 1 2 上满足拉格朗日中值定理的条件，根据拉格朗日中值定理，在区间 0， 1 2 内必存在一点ξ1使得

f 1 2 -f（0） 1 2 -0 =f′（ξ1），（14）

即f′（ξ1）=2，同理，在区间 1 2 ，1 内必存在一点ξ2使得f′（ξ2）=-2，由介值定理知在区间（ξ1，ξ2）内至少存在一点ξ使得f′（ξ）=1.

五、结语

本文提出了非完全逻辑范式的教学概念，并将其运用到微分中值定理的教学中，探讨了微分中值定理的一些应用问题.非完全逻辑教学范式可以帮助学生深刻理解相关知识，更重要的是进行这样的探索能够更好地发展学生的创新意识和创新能力.

【参考文献】

[1]杜红珍.大学数学有效教学的策略探究——对大学数学教学改革的全方位思考[J].大学教育，2013（22）：54-57.

[2]占燕燕，肖丽鹏.二阶齐次微分方程解及其解的导数与小函数的关系[J].应用数学，2015（2）：360-367.

[3]蔡俊亮.关于偶数p-级数的求和显式[J].北京师范大学学报（自然科学版），2013（5）：557-559.

[4]曹金亮，谢锦涛.微分中值定理常见题型的解题方法[J].浙江海洋学院学报（自然科学版）2014（5）：478-482.

[5]王以忠.基于變构模型的概率密度函数的教学探索[J].数学学习与研究，2018（2）：3-4.

[6]多尔.后现代课程观[M].王红宇，译.北京：教育科学出版社，2015.