指数函数拟合公路隧道工程沉降规律的方法研究

2018-01-03张子贤

城市道桥与防洪 2017年12期

关键词：线性化指数函数估计值

张子贤

(江苏建筑职业技术学院，江苏徐州 221116)

指数函数拟合公路隧道工程沉降规律的方法研究

张子贤

(江苏建筑职业技术学院，江苏徐州 221116)

对于指数函数回归，只当采用乘积随机误差时才能够线性化。导出了采用乘积随机误差及采用线性化回归方法时，指数函数因变量的数学期望的表达式，该式表明，该因变量的估计值并非是其数学期望的估值。分析表明，采用线性化回归方法所求指数函数的回归系数不满足该因变量的残差平方和为最小。基于上述不合理现象，对指数函数的回归计算应采用非线性回归方法求解。文中给出了采用高斯-牛顿法或借助MATLAB软件中nlinfit函数求解指数函数非线性回归的方法。实例进一步表明，采用非线性回归方法拟合效果显著优于线性化的回归方法，且借助MATLAB软件易于实现。

指数函数；线性化回归方法；非线性回归方法；沉降规律拟合；拟合精度

0 引言

指数回归函数（以下简称指数函数）常用于拟合路基、隧道等建筑物的沉降量随时间的变化规律[1-3]。对该函数的回归计算，数理统计教科书、以往科技文献以及生产实际中常用的方法是：首先，通过变量代换转化为线性模型，并利用线性回归方法推求线性回归系数；然后，根据线性回归系数反求指数函数的回归系数。这种方法称为非线性模型线性化回归方法。该方法看起来是合理的，其实不然。实际上，只当采用乘积随机误差时指数函数才能够线性化，本文将分析指数函数采用线性化回归方法的统计特性、分析指数函数非线性回归与其线性化回归二者的残差平方和之间的关系式，进而指出指数函数采用线性化回归方法的不合理之处。给出了指数函数采用高斯-牛顿法进行非线性回归的方法或借助MATLAB软件中nlinfit函数的回归方法。实例表明，对于指数函数，采用非线性回归方法的拟合效果显著优于线性化的回归方法。

1 指数函数采用线性化回归方法的统计特性

采用回归分析方法，对因变量的值进行估计，实质上是对其数学期望进行估计。因此，因变量的估计值应等于其数学期望的估计值，这是回归方法应具备的统计特性。为分析指数函数采用线性化回归方法时的统计特性，必须引入随机误差项ε。

当采用乘积随机误差时[4]，指数函数回归模型：

式中：A、B为待估参数。

对式（1）进行自然对数变换后，并令v=lny，a=lnA，得线性模型

传统的做法是假设 ε～N（0，σ2），利用线性最小二乘法求解式（2）的线性回归系数，进而得式（1）的非线性回归系数，为简便起见且不致混淆，将也简记为ˇ（下同）。因此，将作为y的估计值。然而并非是y的数学期望的估计值。因为：

文献[5]已证明：E（eε）=1+σ2/2+σ4/8

由式（3）可知ˇ，对数变换后y的数学期望不为AeBx，而估计值=AeBx不等于y的数学期望的估值，显然不是好的估计。

对于指数函数，若采用加性随机误差：

对于式（4），设ε～N（0，σ2），则E（y）=AeBx。因此，指数函数因变量的估计值：

2 指数函数非线性回归与其线性化后二者的残差平方和的关系

一般地，设可线性化的曲线回归变量代换后的线性回归的因变量v的残差平方和为曲线回归因变量的残差平方和为,文献[5]导出二者的近似关系式为

对于指数函数，v=lny，即y=ev，dy/dv=ev，则有：

综上所述，为取得好的拟合效果以及提高拟合精度，对于指数函数应采用非线性回归方法求解。

需要指出，反映线性化回归密切程度的指标常用相关系数r或r2：

反映非线性回归模型的相关指数R2（也称为决定系数）

显然，当对非线性待估变量y作了变换时，r2≠R2。

3 指数函数的非线性回归方法及其Matlab实现

对于指数函数回归模型式（4）、式（5），引入参数向量 θ=（A,B）。设 y和 x具有 n组观察值（xi，yi），i=1～n。采用高斯-牛顿法[6]求解指数函数回归参数“最小二乘”估计的参数递推公式，写成矩阵形式为：

采用高斯-牛顿法对指数函数非线性回归计算的步骤如下。

（1）分别对式（5）中参数 A、B 求偏导数，得：

（2）确定待估参数初值 θ（0）=（A0，B0）′，可利用实测值中任两组关系值求得。

（3）利用 θ（0）、式（12）、式（13）及 n 组实测值（ti，y）i，i=1～n，计算偏导数矩阵J（θ（0））及θ（0），进而根据式（10）进行迭代计算，直到 θ（k）收敛稳定，即小于或等于预先指定的小正数（例如δ=0.000 5），从而得到非线性回归系数A，B的估计值。

实例1：柳山隧道左洞K39+630拱顶及该隧道断面内空收敛1#、2#、3#测线的累计沉降量y的观测数据见表1[1]。

根据实例1各测点的散点图，采用指数函数估计累计沉降量：

令x=1/t,式（14）则转化为式（5）。

对实例1分别采用线性化回归方法、非线性回归的高斯-牛顿法，拟合拱顶及该隧道断面内空收敛1#、2#、3#测线的累计沉降量，其结果见表2。拟合曲线分别见图1～图4。可见，高斯-牛顿法拟合效果显著优于线性化回归方法。

对指数函数非线性回归计算也可直接调用MATLAB软件中nlinfit函数，以实例1拱顶为例，具体方法如下[7，8]。

function yhat=volumsq（beta,t）

yhat=beta（1）*exp（beta（2）./t）

表1 实例1累计沉降量观测数据

表2 实例1不同方法求得指数函数回归的计算结果

（2）在命令窗口输入

在命令窗口输入

t=[1.007,2.313,3.021,4.007,4.986,6.149,7.18,7.975,9.027,10.037,10.999,12.02,13.117,13.978,15.159,15.996,17.006,18.201,19.218,20.017,21.221,22.256]y=[0.432,0.829,1.182,1.577,2.028,2.393,2.584,2.833,3.033,3.215,3.314,3.462,3.578,3.661,3.75 3.799,3.799,3.908,3.906,3.912,3.907,3.92]beta0=[3,-1]′[beta]=nlinfit（t′,y′,′volumsq′,beta0）;beta

图1 实例1的拱顶由不同方法所得拟合曲线比较

图2 实例1的1#测线由不同方法所得拟合曲线比较

图3 实例1的2#测线由不同方法所得拟合曲线比较

图4 实例1的3#测线由不同方法所得拟合曲线比较

得结果：beta=[4.887 8，-4.303 7]。

实例2：根据文献[2]坡头公路隧道拱顶沉降观测数据，分别采用线性化回归方法、非线性回归高斯-牛顿法进行指数函数回归计算，结果见表3。拟合曲线见图5。可见高斯-牛顿法拟合效果显著优于线性化回归方法。利用高斯-牛顿法求得的回归方程，计算回归线的均方误为0.169 1 mm、残差绝对值和为4.927 6，分别小于文献[2]相应的计算结果 0.191 2 mm、6.021 6。

表3 实例2不同回归方法求得指数函数回归的计算结果

4 结语

对于指数函数回归，只当采用乘积随机误差时才能够线性化。导出了采用乘积随机误差及采用线性化回归方法时，指数函数因变量的数学期望的表达式，该式表明，该因变量的估计值并非是其数学期望的估值。得出了指数函数非线性回归与其线性化回归二者的残差平方和之间的关系式，该式表明，采用线性化回归方法所求得的非线性回归系数不满足指数函数因变量的残差平方和为最小。因此，对指数函数的回归计算应采用非线性回归方法求解。