从2017年福建中考题看二次函数的初高中衔接问题

2018-01-02陈少清

新课程·教师 2017年10期

陈少清

摘要：从2017年福建省中考的二次函数压轴题入手，分析中考函数命题的特点，试图从中考命题的角度入手，谈谈“函数”知识点在中考中如何命制能更好地促进初、高中的衔接。

关键词：初高中衔接；函数；中考命题

自从颁布了《义务教育数学课程标准（2011年版）》后，很大程度上促进了我国基础教育的发展。同时，一线教师也会发现带来一些影响。课标中删除了初中教材中一些高中所需的基础知识，如：“十字相乘法”，被作为“阅读与思考内容”等。在这点上，毫无疑问地对初三中考结束后升入高一的学习造成一定的影响。同时，身边很多案例显示，有些孩子在初中数学还可以，但一进入到高一，从第一章的“函数”学习就发现“水土不服”，成绩急剧下滑。这其中有数学知识本身的客观原因，也有思维方法方面的不足、学习方法掌握不全，当然也有前面说的与新课标删减有关。因此，初高中衔接引起了越来越多的学者关注。

中考是评判学生进入高中的最重要标准，同时中考对教师和学生的教与学具有导向作用。在2017年福建省全省统一中考的二次函数压轴题引起了社会各界的关注，很多声音反映考查的知识点超纲，对考生而言，完成的难度系数偏大。因此，本文试图从这道有争议的中考压轴题入手，尝试谈谈“函数”知识点在中考中如何命制能更好地促进初、高中的衔接。

一、2017年二次函数压轴题

例题1.（2017年福建省中考）已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a

（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；

（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；

（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N.

（Ⅴ）求△QMN面积的最小值.

【试题分析】在上面的例题中，我们可以发现本题考查的知识点是二次函数的顶点坐标、二次函数与直线相交问题、勾股定理、反比例函数增减性、不等式基本性质、如何“化斜为直”地求三角形面积等。同时题目中也渗透了对数形结合、转化与化归、函数与方程的思想方法等，属于综合性很强的大题。

第（Ⅱ）问涉及转化与化归思想，将两函数交点个数转化为一元二次方程解的个数，通过根的判别式来判别。这种处理方法在高中“直线与方程”“圆与方程”“圆锥曲线与方程”等章节中都有涉及。在第（Ⅲ）问的第（ⅰ）题中，构造直角三角形，将“斜线”化为“直线”，利用勾股定理，表示线段MN，转化为关于a的反比例函数，利用反比例函数的增减性即可求范围。而这种求函数最值的题型在高中的考查中很常见。学生根据特殊到一般的学习方法，在高中函数章节中可以很自然地过渡到指数函数、对数函数等基本初等函数的最值问题学习。第（Ⅲ）问的第（ii）题中，先是利用化归思想，将“斜三角形”转为“直三角形”表示出面积为a的函数。这个问题乍一看，好像超纲了，是高中的基本不等式问题。但如果根据初中学生所学，转化为a的方程有实数根，利用根的判别式求解，即可得到面积S的最大值。综合考查学生初中所学知识点的同时，还兼顾了高中后续学习的思想方法的渗透，是一道很好的函数的初高中衔接例题。

二、函数在初高中衔接上对中考命题的建议

1.初、高中对函数的不同要求

通过对初、高中课程标准的解读，发现在“函数”（特指二次函数）模块上，初高中对其的要求还是不同的。

根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》，初中对“二次函数”的要求是：

（1）通过对实际问题的情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；

（2）用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；

（3）会根据配方法将二次函数化为y=a（x-h）2+k的形式，并由此确定图象的顶点、开口方向、对称轴，能应用于实际；

（4）会根据函数图象求一元二次方程的近似解。

根据《普通高中数学课程标准（实验）》，高中对“二次函数”的要求是：

通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）性和几何意义。

初中对二次函数的学习主要是落实到二次函数的具体形式、具体性质，多是静态的；而高中对二次函数的学习不是单一的、动態的，可能是指数函数、对数函数、对数函数的复合函数或是将上面的几个基本函数经过一些变形后得到的初等函数。

2.对函数中考命题的建设