“问题链”在研究函数的对称性与周期性中的应用

吴兴

摘 要：新课标提倡“以问题为中心”，由此衍生出来的以问题为线索、以探究为基础、以解决问题为目的的“问题链”探究式教学模式受到了很多师生的认可和推崇。在对“问题链”概念的理解与“问题链”的设计策略介绍的基础上，结合一道高考题，探析了“问题链”在研究函数的对称性与周期性中的应用。

关键词：问题链；中学数学；函数；对称性；周期性

一、对“问题链”的理解

所谓“问题链”是指教师为了实现一定的教学目标或教学任务，在了解学生已有知识结构或经验水平的基础上，就学生在学习过程中可能遇到或将要产生的疑惑，把教学内容转化成具有梯度、具有系统性且契合學生心理特征的一串串的教学问题。以主问题为中心，再在主问题上衍生出很多有序列且相对独立而又相互关联的“问题链”。

传统的问题往往只注重问题的分析与解决，其问题设计往往忽视了问题的再生性，学生的参与度也较低。但“问题链”是一个有机的整体，各问题间像一条锁链一样把问题和教学目标紧紧连在一起，环环相扣、层层递进、步步深入。把教学内容编织成一组组、一个个彼此关联的问题，使前一个问题成为后一个问题的前提，后一个问题作为前一个问题的继续或结论。这样每一个问题都成为学生思维的阶梯，许多问题共同形成一个具有一定梯度和逻辑结构的“问题链”。因此，采用“问题链”式教学，一方面能有效提高学生学习的主动性、积极性和参与度，能提高其思维能力；另一方面有助于老师业务素质和能力的提高，有助于数学教研工作的深入。

二、“问题链”的设计策略

“问题链”的设计策略是为了实现某一个任务目标，依据可能出现的问题预设对应的方案，在实现目标的过程中，根据形势的发展和变化来制订、调整方案并依据实际情况选择相应的方案，最终实现目标，为“问题链”的设计提供了一个方向性的“指南”。好的策略可以为“问题链”设计提供好的方法论指导，帮助我们设计出高质量的问题。结合自身教学实践，我认为“问题链”的设计通常主要有以下策略：

1.通过试验、观察、归纳设计“问题链”

通过试验、观察、归纳设计“问题链”是指从实际问题出发，通过分析设计，建立数学模型，再借助现代技术工具或亲自动手操作试验获得具体可靠的数学事实，再经过观察、思考、分析所得数学事实，提炼出其中隐含的更一般性的结论，并对其加以猜想论证。

2.通过联想、类比、迁移设计“问题链”

通过联想、类比、变式设计“问题链”就是要把未知数学对象和类似的已知数学对象进行比较，进而根据已知数学对象的性质联想类比出未知数学对象的性质的方法。老师针对未知问题以某个已知知识点为中心，从不同侧面、不同角度设置“问题链”。一方面帮助学生厘清模糊的、辨别错误的认识，加深对知识的理解，使学生从整体上把握数学知识的内在联系；另一方面通过联想、类比、迁移更能培养学生的推理和思辨能力，帮助学生开拓思维，举一反三，融会贯通。

3.通过变换条件或结论设计“问题链”

著名数学家布朗和瓦特曾提出用“否定假设法”来设计问题，即在对原问题的条件和结论进行思考后再自由改变其条件和结论从而产生新的问题。这里的通过变换条件或结论设计“问题链”是指既改变条件又改变结论来提出问题，也可以是不改变条件而只改变结论来提出问题，甚至还可以是不改变结论只改变条件来提出问题。因此，它比“否定假设法”概括性更强，应用范围更广，在提出问题方面更有效。

三、在研究函数的对称性与周期性上的应用

下面选取课堂实录中的一个片段，尝试把理论运用到具体的教学实践中去，利用“问题链”的设计理念与策略，以指导具体的教学问题设计。

1.引入

通过“问题链”，师生共同探讨，反复修正，教师不要着急给出结论，让学生自己归纳整理出关于f（a+x）=±f（b±x）一般性的规律

小结：（学生口述，老师板书，如某一学生回答得不完整，可由其他学生补充）

①当x的系数相同时，函数f（x）具有周期性；

②当x的系数相反、y的系数相同时，函数f（x）的图像具有轴对称性；

③当x的系数相反、y的系数相反时，函数f（x）的图像具有中心对称性。

问题设计到这里，此时也无法解决条件f（-x）=2-f（x）带给我们的具体信息，通过上述归纳，可以猜测函数f（x）大致符合上述情况③，即函数f（x）的图像具有中心对称性。

于是教师再次设计新的问题

问题8：再次改变条件，由f（a+x）=-f（b-x）+c，我们又可以得到函数f（x）的图像具有什么性质？

学生活动：通过类比问题7的证明过程，学生不难得出函数f（x）的图像仍具有对称性，对称中心为（ ）。

（返回开始的问题予以解决，完成本片段的学习任务。）

以上8个问题把一个较难的条件分解成几个联系密切、层次分明、梯次增加难度的问题，形成了一串循序渐进的“问题链”，从特殊到一般，由易到难。本片段“问题链”的设计既用到联想、类比、迁移设计“问题链”的策略，又用到变换条件设计“问题链”的策略，它一方面体现了数学知识发展的层次性；另一方面也满足了不同层次学生的需求，给了学生成功的可能性。问题1、4入口较宽，比较容易回答，大部分学生都能顺利完成，有助于激发学生的学习兴趣，问题2、3、5、6、7依次加大难度。通过对前面问题的总结提炼，使学生认识到关于f（a+x）=±f（b±x）的一般性结论。问题8是为了解决本道高考题而将结论做了推广提升，最后回归到题目本身，使问题迎刃而解。

参考文献：

[1]王婷.高中数学课堂问题链的设计[D].扬州大学，2012.

[2]杨慧.高中数学教学的“问题链”研究[D].上海师范大学，2012.

[3]王后雄.“问题链”的类型及教学功能：以化学教学为例[J].教育科学研究，2010（5）.

[4]刘俊.浅谈函数的对称性与周期性[J].语数外学习（数学教育），2012（8）.