探究数列学习中的递推公式问题

高千迪

摘 要：本文分析了数列递推公式的内在含义，并探究由递推公式求通项公式的办法。列举常见的递推公式形式并给出常见处理方法。归纳总结题目的内在规律，并结合典型例题予以说明。在变化多端的形式中寻找共同规律，从而游刃有余的解决数列的递推问题。

关键词：高中数学 数列中的递推问题 常见的递推形式归纳

一、递推公式的内在含义

递推公式反映的是数列前后项an与an+1（an+2）之间的联系。在知道数列的前几项的数值和完整的递推公式时，就可以依次逐步求出整个数列。在实际问题中，往往是只需要求出特定项，并不需要求出每一项，所以往往题目考察的是由递推公式推导出通项公式。值得注意的一点是，递推公式蕴含的内在信息要少于通项公式，所以往往要结合前几项才能推出通项公式。[1]

二、递推数列问题的解决方法

1.化归思想

“化归”简而言之是转化、归结，解题过程中常用化归的思想方法解决复杂问题。善于运用化归方法使得我们能够把复杂的数学问题简单化，陌生的问题熟悉化，提高做题的速度和准确率。递推公式问题的形式繁杂，解法多，思路开阔，在解题过程中需要娴熟的运用化归的数学思想才能找到解题思路。[2]

2.两个基本数列

化归的目的，就是把复杂的递推数列，转化形成高中所学的两个基本数列：等差函数和等比函数，从而借助课内的知识完成目的。

等差数列：a（n）=a（1）+（n-1）×d

等比数列：an=a1qn-1

三、递推公式的常见形式

1.型如 an+1=λan + c（λ ≠ 1，c ≠ 0）。

——化归为等比数列求解

假设原来的式子可以写成（使用待定系数法）a n+1 + x = λ（a n + x），拆开后移项比较即可解出x，从而借助等比数列{a n + x}解出{an}的通项公式。

例1已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2，求数列{an}的通项公式。

解：由λ=2，得a n+1 + x = 2（a n + x），展开得x=2，所以{an+2}是以3为首项，2为公比的等比数列。所以。

2.型如 a n+1 = λa n + （An + B） （其中 λ ≠ 1）。

——化归为等比数列求解。

设a n+1 + x（n + 1） + y = λ[a n + xn + y]，同样展开整理即可的x，y的值，从而借助等比数列{a n + xn + y} 解出{an}的通项公式

3.型如 a n+1 = λa n + Aq n-1 （其中 λ ≠ 1，q ≠ λ ）

设原式可化为an+1 + x·q n = λ[a n + x·q n-1 ]，从而借助等比数列{a n + x·q n-1}求出{an}的通项公式

——化归为等比数列求解。

例2 已知数列{a n } 有a 1= 1，an+1 = 3an +2n ，求通项a n 。

解： 设 a n+1 = 3a n + 2 n 可变形为a n+1 + x·2 n = 3[a n + x·2 n-1 ] （* ）

与已知条件比较，得x = 2，这时（*） 为a n+1 + 2 n+1 = 3（a n + 2 n ） （**）

换元 bn = an + 2n，可知{b n } 是等比数列且公比 q = 3，a n = 3 n -2n

4.型如 a n+1 = r（a n ）λ （r > 0）

设原式两边取对数可得lga n+1 =λlga n + lgr，这类似于第一种情况，按前面的方法处理即可。这类问题充分体现了化归的思想，遇到陌生的问题，先化成遇到过的熟悉的形式，然后再将熟悉的形式二次化成运用课内知识能够直接解决的形式。

5.型如：——轉化为等差数列。

取倒数后设（换元法），知

所以{bn} 是等差数列，且公差为.所以。

例3在数列{an}中，a1=1，，求通项公式an。

解：取倒数，设，所以bn+1=2bn+2n，所以{bn+2n+2}是公比为2的等比数列，b1+2+2=5，所以bn+2n+2=2n-1×5，所以bn=2n-1×5-2n-2

由此可得{an}的通项公式。

6.型如，其中{cn } 是等差（或等比） 数列——转化为等差或等比数列求和

原式两边同除n+1，得换元，将{bn}当做新数列，则bn+1=bn+cn，这是一个类等差（等比）数列，因为cn是等差（等比）数列，运用其求和公式累加即可得出bn的通项公式。

7.型如 a n+1 = f （n）·a n +[1 - f （n）]

——使用叠乘法或叠加法

原式可变形为 a n+1- k = f （n）·（an - k），换元 b n = a n - k，得 b n+1 = f （n）·b n ，取 n = 1，2，3，…，（n - 1），叠乘法得 b n ，进一步知 a n .

结语

递推公式能考察学生思维的严密性和灵活性，题目虽然变化多端，但终有规律可寻。一是要注意运用化归思想，通过转化变形借助本文分析的两个基本数列进行处理，这里要求灵活使用换元法，待定系数法，取倒数等手段进行处理；二是要熟悉本文罗列的常见递推形式，做到胸有成竹，思路清晰，明确解题的目标方向。三要看清问题的要求，递推公式不仅仅用于推导通项公式，它的内涵是提供了数列前后项间的关系条件，不要形成定势思维，看到递推公式就只有化成通项公式的意识，要根据具体要求具体分析。[3]

参考文献

[1]李萍，张孝梅《多题归一在求数列通项公式中的运用与拓展》[J]延边教育学院学报，2016，（06）：127-129

[2]侯作奎《探求数列递推公式的若干途径》[J].中学数学杂志，2015，（07）：29-31

[3]孟莹《由常见递推公式给出的数列求通项的办法》[J].数学教学与研究2016，（56）：73-74