辅助线作法探究

刘海燕

在几何证明和计算题中，很多都需要作辅助线帮助解题。如何正确的作出辅助线是能否完成求解的关键。作出了辅助线就好比有人在茫然无助的河边找到了通向对岸的独木桥。所以，我们如何更快捷的找到这根独木桥，为考试赢得更多的时间，我做了如下一些探究，不当之处请多赐教。

首先，我们从最简单的线段和角开始，对于它们我们最熟悉不过了，但是否还记得关于它们的两条线。对了，就是线段垂直平分线和角平分线这两条特殊线。有的时候就要用它们的性质来构造相等的线，即到线段两端点相等的线和角两边相等的线，这常常是证明两三角形全等的方法，这是其一；其二是在证明两条线段等于另一线段时，则须通过平移，延长，分段等辅助线来构造它们的关系，要证明两线段之和大于第三条线段或之差小于第三条线段时，就要利用三角形的三边关系来作辅助线。同理，要证明两角与另一角的关系时，也应利用辅助线来构造三角形，用内外角定理进行证明。

其次，就是三角形，三角形又分一般三角形和特殊三角形，对于前者通常的作法是：如有中线，则延长中线到与其相等处，连接使之扩展成为平行四边形；如题中出现两中点，须连接使之成为中位线；如有三角函数或面积问题，则需作高转化为直角三角形；如出现在圆中或多边形中，需作线找角边关系，证明它们全等或相似。

对于特殊三角形来讲，除具备一般三角形的作法外，还可根据其特殊性来作辅助线，如等腰三角形通常是根据其三线合一的性质，直角三角形一般是作斜边上的高或中线。

再次，是梯形中的辅助线，常见的有这几种：如需证明两腰的关系，则将一腰平行移动到另一腰的端点处，使之在一个三角形中，也可延长两腰交与一点，构成一个大三角形；要证明上下底的关系，可移动一腰，将梯形分成平行四边形与三角形，或作梯形的两条高线，分成矩形和两个直角三角形；如出现腰上的中点，莫忘了作出它的中位线。值得一提的是，与梯形一样，平行四边形和一些多边形问题，都需作辅助线转化为三角形来研究。

最后是圆中涉及到的辅助线，圆的辅助线很多，往往需要具体问题具体分析。但需注意的是圆中的一个重要的点：圆心。很多线都是连接圆心，比如关于切线的问题，就需连接切点与圆心。再如要用到的垂径定理，也需要过圆心作直径或半径。另外连接圆心和圆上的点以构成相等的线，用来证明三角形全等或构造圆心角。此外，还有用来构造圆周角的线，如有些问题涉及同弧或等弧所对的圆心角相等时。

上述的一些作法仅是常见的方法，希望同學们了解后灵活运用，在具体问题中具体分析。当然前提条件是对所学的定义定理熟练掌握，很多同学觉得作辅助线很难，其实不然，作辅助线的目的是使问题变得简单。作不出归根到底还是对定理不熟悉。

所以作辅助线是解题的第一步。但只要迈出了这一步，就会有第二步，第三步，直至成功。正如人们所说：良好的开端是成功的一半。也希望同学们把握好今天的大好时机，为自己的明天画出最美的辅助线。