从混合模空间到加权型空间上二阶微分算子与加权复合算子的积

高 超

（连云港开放大学，江苏 连云港 222006）

从混合模空间到加权型空间上二阶微分算子与加权复合算子的积

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（连云港开放大学，江苏 连云港 222006）

文中主要讨论了单位圆盘上混合模空间到加权型空间上的算子D2uCφ的有界性和紧性，得到了混合模空间到加权型空间上的算子D2uCφ是有界算子或紧算子的充要条件.

2阶微分算子；加权复合算子；混合模空间；加权型空间

1 引言

首先介绍一些文中将要用到的记号，记复平面上的单位圆盘Δ={z∈C:||z|＜1},H(Δ)表示Δ上的所有解析函数的集合.称在[0,1)上的取值正的连续函数ø为正规函数，若∃δ∈[0,1)以及 s，t，0＜s＜t，使得

对于 0＜p,q＜∞,ø为正规函数,若 f∈H(Δ)且

其中

则称函数 f∈H(p,q,ø).当 1≤q＜∞ 时，H(p,q,ø)是以 ||·||H(p,q,ø)为范数的 Banach 空间.当 0＜q＜1 时是以 ||·||H(p,q,ø)为半范数的Fréchet空间，不是 Banach 空间.当 0＜p=q＜∞ 时，H(p,q,ø)是Bergman型空间，特别的当时，H(p,q,ø)是加权Bergman 空间其中 -1＜α＜∞.μ(z)为 Δ 上的正的连续函数称为权.若 f∈H(Δ)，且则称 f∈Hμ,Hμ是以 ||f||μ=supμ(z)|f(z)|为范数的 Banach 空间.

文献[1]中研究了复合算子；文献[2]中研究了复合算子与一阶微分算子的乘积；文献[3],[4]中研究了一阶微分算子与其它算子的乘积；文献[5]，[6]中分别研究微分算子与复合算子的乘积以及加权微分复合算子.受上述文献启发，文中讨论了2阶微分算子与加权复合算子的积：

得到了混合模空间到加权型空间上的算子D2uCφ的有界算子和紧算子的充要条件.文中字母C是一个正常数，不同的地方可以不同.

2 预备引理

引理 2.1[6]设 0＜p,q＜∞,ø是正规函数，f∈H(p,q,ø),那么对于任意自然数n，存在一个与f无关的正常数C，使得

由Montel定理及紧算子定义，可得出下面的引理.

引理2.2设u∈H(Δ),φ是Δ上的解析自映射，μ是权，0＜p,q＜∞,ø是正规函数，则算子 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是紧算子的充要条件是D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是有界算子且对于H(p,q,ø)中在Δ的紧子集上一致收敛于0的任意有界列(fk)k∈N有 ||D2uCφfk||μ→0，k→∞.

3 主要定理及证明

定理3.1设u∈H(Δ),φ是Δ上的解析自映射，μ是权，0＜p,q＜∞,ø是正规函数,则算子 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是有界算子当且仅当下列三式成立

证明先假设（1），（2），（3）成立，对于任意 f∈H(p,q,ø)，由引理2.1可得

所以 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是有界算子.

下面假设 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是有界算子，那么存在一个正常数C使得对于任意f∈H(p,q,ø)，

固定w∈Δ取检验函数

满足 fw∈H(p,q,ø),supw∈Δ||fw||H(p,q,ø)≤C 且

由于 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是有界算子，所以

固定w∈Δ,取检验函数

满足 gw∈H(p,q,ø),supw∈Δ||gw||H(p,q,ø)≤C 且

由于 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是有界算子，所以

定理3.2设u∈H(Δ)，φ是Δ上的解析自映射，μ是权，0＜p,q＜∞,ø是正规函数，则算子 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是紧算子当且仅当D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是有界算子，且下列三式成立

证明首先假设 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是有界算子且（4），（5），（6）成立.

令(hi)i∈N是 H(p,q,ø)中使得且 hi在 Δ 上任一紧子集上一致收敛于0的序列，由假设知∀ε＞0存在一δ∈(0,1)，当 δ＜|φ(z)|＜1 时，

因为 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是有界算子，由定理 3.1 可知（1），（2），（3）成立.因为 hi是在 Δ 的任一紧子集上一致收敛于0的序列，由柯西估计可知h'i，在h"i的任一紧子集上一致收敛于0的序列，所以∃i0∈N，使得当i＞i0时，有

由（7）-（12）可知，当 i＞i0时有

相反地，假设 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是紧算子，显然 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是有界算子.若 ||φ||∞＜1，由引理 2.2 可知 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是紧算子.当 ||φ||∞=1 时，令(Zi)i∈N∈Δ 是使得 |φ(Zi)|→1，i→∞ 的点列.

〔1〕Zhao Ruhan.Composition operators from Bloch type spacesto Hardy and Besov spaces [J.]Journalof MathematicsAnalysisand Application,1999,233 (2):749-766.

〔2〕Stevi′c S.Composition by followed by differentiation from and Bloch spaces to nth weight-type spaces on the unit disk [J].Applied Mathematics and computation,2010,216(12):3450-3458.

〔3〕刘晓曼,于燕燕.从H∞到Zygmund空间微分算子与乘子的积[J].徐州师范大学学报(自然科学版)，2011(01).

〔4〕于燕燕,刘永民.从混合模空间到Bloch-型空间微分算子与乘子的积[J].数学物理学报,2012，32A(1)：68-79.

〔5〕Stevi′c S Composition by followed by differentiation from and Bloch spaces to nth weight-type spaces on the unit disk [J].Applied Mathematics and computation,2010,216(12):3450-3458.

〔6〕LIU Yongmin,YU Yanyan.Weighted differentiation composition Operatorsfrom mixed-norm spacesto Zygmund spaces [J].Numerical Functional Analysis and Optimization,2010,31(8):936-954.

O177.2；O174.5

A

1673-260X（2017）12-0011-03

2017-06-11