三种损失函数下系统可靠度的Bayes算法*——以串并联系统为例

康达

（浙江工贸职业技术学院，浙江温州325003）

三种损失函数下系统可靠度的Bayes算法*
——以串并联系统为例

康达

（浙江工贸职业技术学院，浙江温州325003）

损失函数是一种衡量损失和错误程度的函数，将损失函数与Bayes统计相结合，构建出系统可靠度及后验分布参数的三种损失函数的算法。文中选取双边截尾的样本，当参数的先验分布服从伽玛分布时，以串并联系统为例，推导三种损失函数下的系统可靠度及后验分布参数的Bayes算法。并采用Monte-Carlo实验法随机产生多组数值取均值后，计算出该三种损失函数可靠性的估计值。

串并联系统；可靠度；Bayes估计；损失函数

Bayes理论方法在可靠性方面的研究比较广泛，原因在于利用Bayes理论方法，可以大大减少在可靠性分析中试验的次数，这样不但可以节省成本而且还可以加快产品上市的时间，深受人们的欢迎。对可靠性高、寿命长的产品进行寿命试验时，人们通常用截尾试验，因为截尾试验可以减小进入市场的周期，还可以节约资金降低成本。

串并联系统是可靠性理论中的一个重要模型，它是由n个独立的子系统串联而成，第i个子系统又由mi个独立的元件并联而成，如图1所示，对于i=1,2,…,n ；j=1,2,…,mi，第 i个子系统的第 j个元件的可靠性为Rij(t)，于是第i个子系统的可靠度为， 由 文 献 [1]可 知 ，当所有所有mi=m时，有

1 双边定数截尾试验

在众多截尾试验中，双边定数截尾是用得比较广泛的，它假定选取n个产品投入试验，规定试验进行到有r(1≤r≤n)个产品失效时终止，也即为定数截尾寿命试验，设观测到的次序失效数据为假设前s-1个数据丢失，则此时我们观测的次序统计量为1≤s≤r≤n，此截尾方法得到的样本，即为双边定数截尾样本。[2-3]

图 1

每个试验的部件服从参数为μ的指数分布似然函数如下：

表示如下：[4]

2 系统可靠度算法

2.1 SE损失函数Bayes可靠度

在 SE损失函数 L(λ,δ(x))=(δ(x)-λ)2，它是一种对称的损失函数，它的参数的估计就是其后验期望，由此可直接对μ和R(t)求Bayes估计。[5]

2.2 BL损失函数Bayes可靠度

BL损失函数是非对称损失函数，在日常生活中，我们都知道高估计对低估计来讲，高估计带来的损失要大些。因此，非对称的损失函数，逐渐受到了人们的重视，BL损失函数为L(λ,δ(x))∝exp(a(δ(x)-λ))-a(δ(x)-λ)-1,a ≠0 下 λ 的Bayes估计为 λBL=-a-1ln{Eλ[exp(-aλ)]}。因此 μ 和R(t)的Bayes估计如下：

2.3 GE损失函数Bayes可靠度

因此， μ和R(t)的Bayes估计如下：

3 实验模拟

根据具体情况，确定串并联k和第i个子系统的mi的个数，给定α和λ的值确定指数分布参数μ的先验分布，之后根据（4）式的计算过程，通过MATLAB等软件，求出μ的后验分布 f(|μ x)，利用Monte-Carlo法随机产生多组 μ值取均值后，分别在SE损失函数、BL损失函数、GE损失函数的条件下进行对 μ进行Bayes估计和R(t)的Bayes估计得到μBS， RBS(t)， μBL， RBL(t)， μBG， R(t)BG。

假设是k=2和mi=2串并联系统，在不同的α和 λ下，计算出 μBS， RBS(t)， μBL， RBL(t)，μBG，R(t)BG的值如1所示。

通过上述模拟结果上来看，可以发现通过SE损失函数、BL损失函数、GE损失函数的串并联系统可靠度估计值依次升高。SE损失函数为对称性的损失函数，其对称性的特性与系统可靠度走势吻合度不高，从数据上来看，确实效果不佳。BL损失函数、GE损失函数为非对称的损失函数都比较合适系统可靠性的研究工作，从结果上来看，GE损失函数更合适串并联系统。

表1 三种损失函数下Bayes估计值

4 总结

在工程上最关心的是系统的可靠度或耐用能力，如果可靠性的比较高，说明该系统比校稳定而且耐用。因此，系统的可靠度的研究是十分必要且意义重大的。串并联系统是可靠性数学里一个常见的系统，很多网络和电子产品都可以认为是一个串并联系统，从而利用该系统评定产品和网络的可靠性。Bayes方法简便实用，而且极大地提高了已有参数估计方法的精度，在工程实际中有很大的应用价值。Bayes理论方法在可靠性方面的研究发展比较广范，利用Bayes理论方法，可以减小在可靠性分析中试验的次数，深受人们欢迎。

[1]李凌,师义民,李明海.逐步增加的II型截尾下冷贮备串联系统可靠性指标的Bayes估计[J].工程数学学报,2007,24(5):895-901.

[2]冯艳,师义民,严惠元.定数截尾两参数指数——威布尔分布形状参数的Bayes估计[J].数学的实践与认识,2007,37(5):37-45.

[3]师义民.双边截断型分布族参数的经验Bayes估计[J].高校应用数学学报A辑,2000.15A(4):475-483.

[4]李秀春,师义民,魏杰琼.冷贮备串联系统可靠性指标的经验Bayes近似置信限[J].系统工程,2005,23(3):101-104.

[5]康达.并串联系统可靠度的Bayes估计及Bayes置信限[J].温州大学学报,2010,31(3):17-23.

BayesAlgorithm of System Reliability Degree under three Kinds of Loss Functions

KANG Da
(Zhejiang Industry&Trade Vocational College,Wenzhou,325003,China)

Making use of the loss function is a property of measuring loss degree and error degree.The loss function is combined with Bayes statistics,which constructs three kinds of loss functions algorithm about system reliability and posterior distribution parameters.In this paper,we select bilateral truncated samples.when the prior distribution of the parameters obeys gamma distribution,and we take series-parallel system as an example to derive system reliability degree and the posterior distribution parameter of the Bayes algorithm under three kinds of loss function.Moreover,adopting Monte Carlo experiment method to generate the mean of multiple sets of values at random,the estimate of the reliability of the three kinds of loss functions is calculated.

series-parallel system;reliability degree;Bayes statistics;loss function

O213.2

A

1672-0105(2017)03-0058-03

10.3969/j.issn.1672-0105.2017.04.013

2017-09-26

2016年度浙江工贸职业技术学院第二期教师科技创新活动计划项目（G160211）

康达，男，硕士，浙江工贸职业技术学院讲师，研究方向：系统可靠性。

尹清杰）