案例驱动的工程随机数学课程教学探索

肖进胜，蔡红涛，许贤泽，张燕革，周 晨

（武汉大学电子信息学院，湖北 武汉 430072）

案例驱动的工程随机数学课程教学探索

肖进胜，蔡红涛，许贤泽，张燕革，周 晨

（武汉大学电子信息学院，湖北 武汉 430072）

针对工程随机数学课程在电子信息类专业的教学实际，探讨增加课程吸引力，激发学生的学习热情、提高学生的学习效率的方法。提出将科研项目案例引入工程随机数学课程教学，包括科研项目案例应用于教学的一般过程、实施中可能存在的问题以及对应的解决方案。探讨帮助学生理解、掌握和应用相关知识点的方法，培养学生理解、思考和解决工程科技案例的能力。通过案例驱动教学来提高学生学习的积极性和主观能动性，并对电子信息类专业的后续的相关专业课程学习有初步认识。

案例驱动；电子信息；工程随机数学；课堂教学

0 引言

“工程随机数学”一般称为”概率论与数理统计”，是面向大专院校工科专业的一门基础必修课程。对于电子信息类本科生来说，更有特殊的意义。其内容结构包含概率论基础知识、数理统计概念，以及随机过程三个部分[1]。他是为电子信息类专业本科生学习随机数学的基本理论和基本方法，并应用于信息科学技术的工程实际中。由于该课程是一门数学类的基础课程，多数学校由数学系老师讲授，数学味偏浓。相对于电子信息类的其他专业课程，本课程很难调动学生的积极性，不容易激发起学生的兴趣和对专业热爱。与后续信息领域专业课程联系不紧密，学生的学习效果差，进一步影响着学生后续信息领域专业课程的学习。

工程随机数学的课程教学目标是：循序渐进的讲述工程随机数学的基本概念和理论方法；充分激励学生学习的自觉性、参与性和主观能动性，掌握必备的随机数学知识，为后续专业课程的学习打下坚实的数理基础。为了实现这一目标，如果能将动手实践、问题分析与合作交流相结合，即分析解决本领域相关科研问题的过程中学习[2]，就能充分引导学生对本课程的认识。采用类似于问题驱动学习[3]，任务驱动教学[4]及案例驱动教学[5,6]等方法的基本思想，将学生的课程学习活动与实际的工程科研案例相结合，通过实施一个电子信息类图像处理算法案例而展开教学活动，通过探究案例问题来提高学生的兴趣并传授知识点。科研项目案例驱动教学有一定的适用范围，教师要有一定的专业科研背景；案例要有一定的代表性，要能激发学生共鸣；案例内容与课程知识点要有比较直接的关系；同时需要与学生的专业基础和知识储备相匹配。电子信息大类专业有丰富的信号处理，图像处理，通信网络等科研案例，应用广、直观可见，能够较好的满足科研项目案例驱动教学的要求。本课程和专业适合科研项目案例驱动教学，能够赢得学生青睐。

1 案例驱动教学的一般流程

由于本课程的一些理论知识和原理工具将来会用于信号处理与通信网络相关专业课程。一般采用软件算法项目来驱动教学过程。传统软件工程项目的实施过程是：明确项目背景和目标，进行理论分析，算法架构设计、代码开发、测试优化、维护等。结合工程随机数学的课程特点和本专业大类学生培养的特点，我们设计了一项课程项目——基于高斯背景模型的目标检测算法的设计，让学生由浅入深地了解工程随机数学知识是如何应用于图像处理应用。包括香农信息理论，高斯背景模型的原理，了解正态分布、图像的均值和方差的计算、统计分布、参数估计等内容。整个案例驱动的工程随机数学课程教学框架如图1所示。

图1 案例驱动的工程随机数学课程教学框架Fig.1 Teaching framework of case-driven engineering stochastic mathematics

在此项目驱动的工程随机数学课程教学过程中，教师会循序渐进地向学生介绍相关知识点和研究成果。学生也有强烈的欲望来掌握这些知识，并应用到实际的图像处理算法的开发中。具体的描述以及结合工程随机数学课程特点的实例如下。

（1）项目的背景描述。

这里向学生介绍必要的图像处理基础知识，视频运动目标检测的应用背景和意义等内容。主要是提出问题，描述问题的背景和应用场景，介绍数字图像的定义等基础知识，通过吸引学生的关注度，来引起学生思考。

运动目标检测是为了寻找存在运动的区域(如车辆、行人等)，检测的结果可以为后续的目标识别与跟踪、行为理解与分析等智能监控任务提供感兴趣区域；为下一步的视频理解和分析提供可靠的数据。

（2）项目的理论可行性分析。

这个阶段描述视频图像的运动对象检测的基本背景知识内容。明确如何将一个图像处理问题进行分解、用已有的知识或查一些资料进行解决，分析其所用的理论工具和理论上的可行性。

就算待拍摄的场景是一成不变的，采集到的视频中每个位置的像素亮度值，由于受噪声干扰会有变化。我们可以利用高斯分布（正态分布）函数来描述图像中每个位置的像素值的变化情况，每个位置像素点的高斯分布（正态分布）即为该点的背景模型。若图像中被检测帧的像素值以较大概率出现在其高斯背景模型中，即认为该位置属于背景，否则属于运动对象。

（3）项目的算法架构和合理性分析。

介绍运动目标检测的基本假设、基本模型、一些图像元素（像素坐标，图像亮度）和具体数学模型参数的对应。这里需要较好的将项目的物理背景和数学模型解释清楚，将科研问题抽象转化为工程随机数学课程中的一些基本概念和方法，促进学生理解项目原理和课程知识点的关系。

单高斯背景模型的基本思想[7]是：利用正态分布函数为图像中i处的像素点 xi建模。模型中每个像素点是相互独立的，并分别服从均值为μi、方差为的高斯分布。这个案例充分结合了工程随机数学中的有关知识点，用到了均值、方差、正态分布的概念，还用到了参数估计的思想。

（4）确定算法的步骤和基本流程。

单高斯背景建模的基本流程[8]如下：

1. 初始背景模型。为图像每个位置赋予一个初始的高斯分布。可以利用一段时间内同一像素点处的平均像素值作为其均值，其方差一般可设为一个相对较大的值。

2. 更新背景模型。更新图像中各个位置的高斯模型参数。设xi,t，μi,t和分别为t时刻图像中位置i处的像素值、模型的均值和方差，ρ为模型的系数。模型的均值更新如下：

模型的方差更新如下：模型的系数ρ更新如下：

3. 对每一帧图像依据进行背景模型的更新，通过不断的更新操作得到较准确的背景图像。

（5）算法的实验及效果分析。

用VS2010+Opencv 2.4中关于高斯背景建模的例子。通过简单的讲解，用一个简单的例子能够运行得到下面结果。

图2 高斯背景建模实验效果Fig.2 Experiment results of gaussian background modeling

由结果视频，可以明显看出二值化图片中人的形成和背景的生成过程。当然可以让学生自己发现和完善模型中的问题，通过自己对均值和方差等概念的理解，探索完善模型的方法。单高斯背景模型假定背景中每个像素值的变化情况可用单个高斯函数进行描述，并采用在线更新机制来适应背景的缓慢变化。但大多应用系统所面临的实际场景复杂且多变，背景中常可能包含波动的水面、音乐喷泉、随风摆动的树木和旗帜等时刻动态变化的物体，此类存在扰动的背景也被称为动态背景或者多模态背景。由于单高斯模型只能描述背景的某一个确定状态，在这种情况下，上述背景中的水面、喷泉、树木和旗帜等都将被检测为前景目标，从而造成大量的误检和虚警。

2 基于案例驱动教学的相关问题分析

按照前面的介绍，项目驱动教学贯穿整个工程随机数学课程的始终，实施周期很长，涉及内容很多。由于课堂上学生较多，并且学生能力参差不齐，项目驱动教学活动不免会出现一些问题。这里我们将仔细讨论这些问题，并给出解决方案。

2.1 存在的问题

我们把选课学生划分成若干个小组，每组 3～5人，任务是实现一个基于背景建模的视频目标检测算法。考虑到一般高校本课程是在大二开设，而在大一都已经学习了 c，matlab等编程工具，因此让学生分组进行小算法实现是可行的[9]。根据工程随机数学课程教学中的实施经验，案例驱动的工程随机数学课程教学活动会出现如下问题：

（1）小组缺乏明确的实施计划和职责分工。因为缺乏相关基础知识和算法开发经验，各小组的成员并不清楚如何进行准确的问题建模，导致进展缓慢。没有明确的实施计划和职责分工，缺乏统筹安排，不知所措。大家都想做容易实现的部分，而有难度的部分，没有人愿意涉及。另外，在组织课堂讨论时，小组成员发言很热烈，但他们所讨论的问题比较发散，不能直击问题本质和要害。小组成员在实施时，推进的力度不足，研究的深度不够。

（2）项目组成员间缺乏组织和团队合作意识。项目组成员成绩和学习能力有差别，对课堂知识的理解和吸收能力有差异。大部分同学无法准确理解老师介绍的内容，不能将所学知识和算法问题结合起来。许多的小组实际上只有少数学生在思考解决问题，而其他组员很少参与问题的讨论。其他的同学也很难从项目中得到锻炼和提高。

（3）项目成果缺乏规范的考评制度。由于是组团作战，不同于一般的考评，需要设计合理的考评制度。比如，如何评价项目实施的效果？项目组得分如何对应到每一个小组成员？这些问题通常缺乏规范的量化指标，实际操作的时候灵活性很大。有时几个小组得到的结果相同，但是实现的方式却有很大差异。有的小组是分工合理，大家都发挥作用；有的小组却只是其中个别能力较强的同学完成了所有任务；有的小组可能只是照抄网上下载的算法，而没有自己的思考。因而，需要对项目驱动教学产生的影响进行系统的分析和实际的验证，使这一教学方式更加规范。能够在使更多的同学得到锻炼的同时，更加巩固自己学习的课堂知识，并且对本专业的学习更加感兴趣。

2.2 对应的解决方案

为了解决上面可能会普遍碰到的问题，通过思考和实践教学试用验证，我们尝试了如下解决方案，并有一定的效果。

首先，教师要认真精心的设计教学案例，这是案例驱动教学的前提。案例内容应紧密围绕教学内容和知识点，使小组讨论有针对性、有价值。另外，老师须有一定的专业背景。作者单位这门课是选择本专业有丰富项目科研经验的老师讲授，而不少高校这门课是由数学公共课老师讲授，这样两者实施的效果是不一样的。老师需要将项目算法的应用背景，项目的算法基本原理有针对性的介绍和提示[10]。让学生能理会需要用什么样的知识点来解决该类问题。案例的实施要由浅入深、逐步过渡，这样学生有一个适应的过程。

例如，工程随机数学课程更强调学生对相关理论和知识点的理解和掌握，比较枯燥，因此项目内容通常会安排学生比较感兴趣的图像处理技术。可以结合专业应用实际考虑实现背景建模、目标检测、图像增强等算法。这些算法相对成熟，相关资料比较齐全，学习入门门槛低，开发环境和工具也比较容易上手。关键是这些图像处理类算法，结果直观、视觉效果好。学生很容易提起兴趣，并有成就感。学生根据自己已有的专业知识，选择自己相对熟悉或者有兴趣的内容进行研究和探讨，可以使各项目组的工作顺利开展下去。

其次，学生在组合成项目小组时需要优化组合、合理分工，这是项目驱动教学成功的关键。在组建小组时，应考虑到学生的能力和性格等进行合理搭配，使各组间实力均衡。由于一般男生偏爱动手编程，女生大多偏爱查阅学习资料，因此项目组通常还需要考虑男女搭配。通常以 3～5人为一组，由 1人任组长，大家各有分工，并有一定的任务重叠。这样可以做到使每个学生都能参与思考，发挥作用。同时个别同学出现拖后腿情况时，有其他同学帮忙思考，解决问题。另外，学生要增强合作意识，应让每个小组成员描述自己在小组讨论中的作用和感受。

在项目驱动教学实践中，我们一般是先让学生自己自由组合，然后老师再根据人数和人员情况进行适当的微调，使各组人员尽量分配合理，各组整体实力相仿。组内成员的任务划分也让学生自行确定，老师再根据实际情况加以指导。在汇报研究内容时，老师可以考虑成员承担任务分工的不同而询问不同的问题，使组内的每一位成员都有机会回答问题。组内各成员的分工、实际发挥的作用、各人的收获立刻能反映出来。为了完成任务，项目组成员的合作是必需的，从讨论内容的确定到资料的搜集，从相关技术的实现到最终的演讲和展示，都需要组内成员的共同参与。

最后，案例驱动教学的考评方法要合理规范，这是教学模式成功的保障。必须考虑到项目驱动教学考评和课程期末考试之间的关系。案例驱动教学的目的是为了激发学生的主观能动性，让学生热爱学习本课程的相关知识，更深刻地记忆和理解相应的知识点。这种学习方式能达到的效果需要规范地加以考评，以真实反映各个学生的学习能力和学习效果。只有合理规范并且相对公平公正的考评才能激发大家参与和学习的积极性。

3 结语

通常情况下工程随机数学课程教学是一对多的讲述，这里变成借鉴项目工程实践和合作学习的教学组织形式。通过案例驱动工程随机数学教学的精心组织和安排，能使不同学习程度的学生在项目组中既有分工又有合作，互帮互助，实现共同学习进步。该方法同时也锻炼了学生理论结合实际，分析问题、解决问题的动手能力。该方法能够让学生提前感受到自己所学知识的巨大威力和美学效果，激发学生的学习热情和对专业的热爱。案例驱动工程随机数学课程教学方式的应用是非常有效的。并且根据专业的不同，也可以在其他专业设计类似的项目驱动的工程随机数学课程教学探索。

[1] 许贤泽, 肖进胜, 张燕革, 蔡红涛, 赵正予, 工程随机数学基础[M]. 武汉大学出版社, 2013. 8.

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[4] 钟永江. 信息技术环境下的问题驱动学习模式[J]. 中国信息技术教育, 2010(21): 51-52.

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The Exploration of Case-driven Teaching in Engineering Stochastic Mathematics Course

XIAO Jins-heng, CAI Hong-tao, XU Xian-ze, ZHANG Yan-ge, ZHOU Chen
(School of Electronic Information, Wuhan University, Wuhan 430072, China)

Aiming at the teaching practice of engineering stochastic mathematics course in electronic information specialty, this paper discusses how to increase the attractiveness of curriculum, stimulate learning enthusiasm and improve learning efficiency. This paper proposes to introduce the case of scientific research project into the teaching of engineering stochastic mathematics. It includes the general process of scientific research project application, the possible problems in the implementation and the corresponding solutions. This article explores ways that help students understand, master and apply relevant knowledge. It develops the ability of students to understand, think and solve engineering and technical cases. It explores the enthusiasm and subjective initiative of students through case-driven teaching. It has a preliminary understanding of the follow-up courses of electronic information specialty.

Case-driven; Electronic information; Engineering stochastic mathematics; Classroom teaching

TP391. 41

A

10.3969/j.issn.1003-6970.2017.12.001

本文著录格式：肖进胜，蔡红涛，许贤泽，等. 案例驱动的工程随机数学课程教学探索[J]. 软件，2017，38（12）：01-04

国家自然科学基金(61471272)；湖北省自然科学基金项目(2016CFB499)；武汉大学专题教学研究项目(2017JG104)

肖进胜(1975-)，男，副教授，主要研究方向：信息与通信工程；蔡红涛(1977-)，男，教授，主要研究方向：空间探测与信息处理；许贤泽(1964-)，男，教授，主要研究方向：仪器科学与技术；张燕革(1966-)，男，副教授，主要研究方向：光学工程；周晨(1982-)，男，副教授，主要研究方向：空间探测与信息处理。