利用动点理解二次函数的性质

刘建

利用动点理解二次函数的性质

刘建

动点问题能培养我们的推理能力和函数思想，在最近几年的中考中经常出现.请看下面这道题.

题目：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）

图1

图2

分析：常规解题思路是：分点Q在AC上和BC上两种情况讨论；分别求出两种情况的面积关系式；根据函数关系式对应的图象确定选项.

解法一：当Q点与C点重合时,

当点Q在AC上时，如图1，

∵∠A=30°，AP=x，

当点Q在BC上时，如图所2示，

∵AP=x，AB=16，∠A=30°，

∴BP=16-x，∠B=60°，

解法二：估算分析法

观察△ABC中的点P的运动过程，当点Q与点C重合时，PQ取最大值，此时AP＞BP，而选项C，D中的图象均表示AP=BP，与实际情况不符，故排除选项D和C；点Q位与点C重合时，S△APQ的面积最大，点Q在点C两侧逐渐离开时，面积逐渐减少.如图3，当Q在CP的左侧时，AP1的长和高P1Q1都减少，S△AP1Q1减少较快，当Q在CP的右侧时，高P2Q2减少，但AP2增加，S△AP2Q2变小的速度较慢，这样就可排除选项A.选B.

上述两种解法，第一种方法是最常规的方法，也比较顺手.因为在解题的过程中，要看函数图象，肯定要求出△APQ面积与x之间的函数关系.对于这个题目，这是最麻烦的一种方法.第二种方法最为简单，但是比较抽象.对于抽象性的问题，很难想到，甚至难于理解，这需要开拓我们的思维，通过推理,得出结论.这种估算分析法，对于解选择题特别适用.

图3

王二喜