高中数学中不等式证明的几种常用方法

谭博文 湖南省长沙市雅礼中学

高中数学中不等式证明的几种常用方法

谭博文 湖南省长沙市雅礼中学

不等式是高中数学的重要知识，考察我们学生对不等式理论熟练掌握的程度，是衡量我们学生数学知识水平的重要环节。高中数学中不等式证明的几种常用方法包括：比较法、综合法、分析法、换元法等。不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个高中数学教学之中。基于此，文章对高中数学中不等式证明的几种常用方法进行了探讨。

高中数学 不等式证明 常用方法

1 什么是高中不等式的常用方法

不等式在高中数学中占有重要的一席之地，高中不等式的常用方法灵活多样，具体包括比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、换元法、构造法、数学归纳法等。其中比较法、分析法、综合法和换元法仍是证明不等式的最基本方法。不等式最基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧与语言特点进行解题，最终归结为不等式的求解或证明。不等式的应用范围十分广泛，它始终贯穿于整个高中的数学中。

2 高中数学中不等式证明教学的几种常用方法

2.1 比较法

比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：做差（或作商）后，通过分解应因式、配方、通分等手段变形判断符号的大小，然后做出结论。作差（或作商）、变形、判断符号，如，依据做差比较法a＞b，a-b＞0（或a＜0），通过计算不等式两边的差，进行比较，得出所要证明的结论。已知：a、b、c为正数，求证：a3+b3+c3≥3abc证明：因为a3+b3+c3-3abc等于（a+b+c）（a2+b2+c2-abbc-ca）等于（a+b+c）[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]≥0，所以a3+b3+c3≥3abc。

2.2 分析法

从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题，转化为证明这些条件，是否具备的问题。如果能够肯定这些条件都以具备，那么就可以判定所正的不等式成立，这种方法叫做分析大。如，设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2，要证a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。

2.3 综合法

从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法。如，设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2，而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。因为a≠b，所以a-b≠0，因为(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0，亦即a2-ab+b2＞ab，由题设条件知，a+b＞0，所以(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证。

2.4 换元法

换元法是高中数学中一种常见的数学解题方法，在数学解题过程中有很多比较复杂的或者存在两个及两个以上未知条件的数学题，解题时根据知识间的内在联系，适时地转化题目中的数量关系，通过各个变量间的条件转换，把一种问题转化为另一种问题，从而简化整个解题过程。在数学解题时，如果能灵活运用换元法，不仅能有效锻炼学生的思维敏捷性，而且能够有效地提高学生的思维能力。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。如：当k＜1时，曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点，解析a=1，由a=1知f(x)=x3-3x2+x+2，设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4，由题 设 知1-k＞0，g＇(x)=3x2-6x+1-k＞0，g(x)单调递增，g（-1）=k-1＜0，g(0)=4，所以g(x)=0d[-∞，0]上有一实根，当x＞0时，令h(x)=x3-3x2+4，则g(x)=h(x)+(1-k)x＞h(x)，h＇(x)=3x2-6x=3x(x-2)，h(x)在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，所以g(x)＞h(x)≥(2)=0，所以g(x)=0在(0，+∞)上没有实根。综上g(x)=0在R上有唯一实根，即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点。

通过上文的分析可知，在高中数学的学习过程中，比较法、分析法、综合法、换元法是几种比较常用的解题方法。它不仅能简化解题过程，而且能够帮助学生分析解题思路。在课堂教学中，教师在教学目的和教学内容确定后，要指导我们学生对高中数学中不等式证明的几种常用方法进行灵活运用，从中加强学生自身的逻辑思维与提高数学不等式知识的学习能力，并促进我们学生的智力发展，从而有效提高我们学生的学习能力。

[1]王庭元.例说不等式证明的几种常用方法[J].高中数学教与学，2014,8:20-20

[2]贝雪芬.高中数学中不等式的证明方法浅析[J].高中数理化，2012,22:42-42