例谈数形结合解决向量问题

2017-12-28孔繁晶��

考试周刊 2017年51期

关键词：数形向量数学

孔繁晶��

摘要：向量是高中数学中重要的章节，是代数与几何的交汇点，也是历年高考中必考的内容，因此无论从教学到应试都强调注重向量基本知识和基本方法的考察。

关键词：向量；数形；数学

数形结合是常用數学方法之一，而向量兼具了代数和几何的双重特征，因而在解决向量问题时常利用这一重要思想方法。下面就简单谈一谈利用数形结合的思想解决相关向量问题。

一、利用平面几何知识

例1已知OB=（2，0），OC=（2，2），CA=（2cosα，2sinα），则OA与OB的夹角的范围是。

解：CA的终点A在以点C（2，2）为圆心，2为半径的圆上。OA1，OA2是圆的两条切线，切点为A1，A2。在直角ΔOCA1中，OC=22，CA1=2，所以∠COA1=π6，∠COA2=π6，因为∠COB=π4，所以∠A1OB=π4-π6=π12，∠A2OB=π4+π6=5π12，因此OA与OB的夹角的范围是π12，5π12。

二、运用坐标系

例2如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问：PQ与BC的夹角θ取何值时，BP·CQ的值最大？并求这个最大值。

分析：思路是通过建立直角坐标系，将问题坐标化。

解：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设AB=c，AC=b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b），P（x，y），Q（-x，-y），于是BP=（x-c，y），CQ=（-x，-y-b），BC=（-c，b），PQ=（-2x，-2y），

∴BP·CQ=（x-c）（-x）+y（-y-b）=-（x2+y2）+cx-by.

∵cosθ=PQ·BCPQBC=cx-bya2，∴cx-by=a2cosθ，∴BP·CQ=-a2+a2cosθ.

故当cosθ=1，即θ=0（PQ与BC方向相同）时，BP·BC的值最大，其最大值为0.

三、构造几何模型

例3已知O是ΔABC内一点，且OA+OC=-3OB，求ΔAOB与ΔAOC的面积的比值。

分析：在ΔABC中，若OA+OB+OC=0，则不妨设O是正三角形ΔABC的重心，令3OB=OB′，那么O可以看成正三角形AB′C的重心，如此构造正三角形，利用特殊方法求ΔAOB与ΔAOC面积的比值即可。

解：如图，ΔAB′C是正三角形，O是△AB′C的重心，不妨设OB=1，则OA=OC=3，则S△AOBS△AOC=12×3×1×sin120°12×3×3×sin120°=13。

下面设计几个练习，有兴趣的读者可以试一试。