极限概念在圆周率计算中的应用

高天龙

摘要：割圆法是圆周率计算中比较传统的方法。文中使用极限概念，分析了圆的周长与内接正多边形的边数的关系，推导了圆周率的计算公式，通过编程计算，得到了不同边数与相对应的圆周率的计算结果，表明了在极限概念下圆周率计算结果的趋势，展示了极限概念在割圆法计算圆周率上的应用。

关键词：割圆法概述；割圆法计算原理；极限表达

一、 引言

圆周率（表示为希腊字母π）是一个存在于自然界之中的无理数，是圆周的长度与圆的直径之间的比例常数，人们很早就开始了认识圆周率的过程。公元前3世纪古希腊著名的数学家、物理学家Archimedes通过正多边形内接于圆，将其边数逐渐地增加来计算圆周的方法求得了圆周率的近似值约为3.14163。巴比伦、印度、中国等长期使用3这个粗略而简单实用的数值，东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准，后人称之为“古率”。魏晋时期刘徽曾于公元263年用割圆术的方法求到3.14，这被称为“徽率”，南北朝时期的数学家祖冲之进一步将圆周率π的真值精确到小数第7位。

二、 圆周率的计算

（一） 割圆法概述

在研究圆周率的过程中，多种计算方法被提出来。大致可以分为几种：利用正多边形计算，连分数计算以及近代推出的多种经典计算公式。其中利用正多边形的计算方法是比较直观，易于接受的方法。我国古代第一个把求圆周率近似值的方法提高到理论高度上来认识的是刘徽。他独立地创造了“割圆术”，并系统而严密地用内接正多边形来求得圆周率的近似值。

（二） 割圆法计算原理

“割圆法”的基本计算思路是：通过圆内接正多边形割分圆周，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率，割圆过程可以用不同边数的正多边形示意，如图1所示，

a内接正三变形b 内接正六边形c 内接正12边形

图1b中，圆的圆心为O，内接一个边长为LAB的正n边形。正n边形把圆分割成n个长度为lAB的圆弧。由图1可知，弧长lAB大于正n边形边长LAB，设其差值为Δ。

根据以上分析，可以得到圆的周长C是n个弧长的总和，

C=n×lAB （1）

内接正n边形的边长总和为，

C1=n×LAB（2）

所以可以使用正n边形的边长总和，代替圆的周长，

C=C1+n×Δ（3）

由式3可知，当Δ=0的时候，C=C1，即可以用正n边形的边长总和代替圆的周长。

根据圆的周长公式，认为周长C是圆直径D和一个比例常数π的乘积，由此可以推导出圆周率π的计算公式，

π=CD（4）

由式3可以得到，

π=C1+n×ΔD=C1D+n×ΔD（5）

由于两点之间的弧长总是大于直线的长度，所以在实际计算中，Δ随着n的增大，逐渐减小并趋于0，当Δ=0的时候，可以得到，

π=C1D（6）

式6是割圆法的理想结果，即用正多边形把圆分割成无数细小的弧长，当分割足够小的时候，弧长近似等于正多邊形的边长，由此计算圆周率π的近似值。

三、 极限计算及结果

（一） 圆周率的极限表达

根据以上分析，可以把割圆法计算圆周率π的方法，看做是一个极限问题。在高中数学知识里，有关于极限的概念，叙述如下：

设函数f（x）是关于x的函数。如果limx→+∞f（x）=a，那么就说当x趋向于无穷大时，函数f（x）的极限是a，记作limx→∞f（x）=a，也可记作当x→∞时，f（x）→a。

在割圆法计算圆周率π时，直径为D的圆，其内接多边形的边数n越大，边长与弧长的差值Δ越小，差值Δ是以边数n为变量的函数。分析式2、5、6可以知道，圆周率π是以边数n为变量的函数，

π（n）=n×LABD（7）

使用函数极限的概念，当边数n无穷大的时候，π（n）等于π，记为，

limn→∞π（n） =limn→∞n×LABD =π（8）

（二） 极限计算

设圆直径为D，内接多边形边长为n，如图2所示，计算边长LAB。

其中角度α=12×360n=180n，直角三角形斜边OA=D/2，边长LAB=2*AC。

经过推导，可以得到边长LAB的计算公式，

LAB=D×sin180n（9）

由式7可得π的计算式，

π（n）=n×D×sin（180/n）D=n×sin180n（10）

将式10代入式8，可得，

π（n）=limn→∞π（n）=limn→∞n×D×sin（180/n）D

=limn→∞n×sin180n（11）

式11就是经过推导得到的圆周率π与圆内接正多边形边数n的极限关系式。

（三） 计算结果及分析

由式11，当边数n趋于无穷大的时候，可以得到圆周率π的极限值，也就是无限接近于真实的π值。根据式11，使用VB6.0编程计算，把计算结果绘制成图表形式，直观地显示当n趋于无穷大的时候，圆周率π的计算结果。

程序中，使用n为自变量，π（n）为函数，设n从3开始，逐渐递增，趋于一个非常大的自然数，可以设为100000。通过计算结果的对比，显示圆周率π于边数n的关系。

计算结果如表1，列举部分数据。

将计算结果绘制成图表，可以观察到圆周率π的计算值变化趋势，如图3。

根据上面的结果显示，使用割圆法计算圆周率π，π的计算值变化趋势在正多变形边数n较少时，π值变化较快，快速接近真实值。随着边数n的增大，变化趋缓，曲线接近水平可以知道，当n值接近于无穷大时，计算值与真实值的差值将趋于零。

四、 总结

割圆法通过使用正多边形把圆周分割成n个圆弧，近似计算圆周长度，进而计算圆周率π的近似值。其计算思想中使用了极限的概念，当正多边形的边数增大，计算数值的误差逐渐减小，当边数趋于无穷大的时候，圆周率的计算值无限接近真实值。通过使用极限概念推导内接于圆的正多边形的边数与圆周率的关系，编程计算，得到计算结果并绘制图表，很好地展示了极限概念在割圆法计算圆周率上的应用。

参考文献：

[1] 王汝发 祖冲之与刘徽在国内外影响之比较[J].哈尔滨学院学报（社会科学），2001，06.

[2] 杨忠宝，刘向东.VB语言程序设计教程[M].北京：人民邮电出版社，2015.