函数、导数的综合问题

袁景涛

摘要：函数是高中数学的主干，导数是用来研究函数的工具。函数与导数两部分的知识点作为高考的重点内容，这两者之间有着一定的联系，导数作为高中数学的重要内容，它也是研究函数的重要工具，将函数跟导数有机地结合在一起，就能构造出一些综合性比较强的数学问题。基于数学核心素养的测试题目，从某种意义上说，就是针对课程中的主干重点知识，为学生设定一个在真实情境中的具体任务，通过这个任务的解决，来考查学生对数学知识本质的理解，评价学生的核心素养水平。

关键词：函数；导数；综合问题；核心素养

【命题要求】

基于数学核心素养的测试题目，从某种意义上说，就是针对课程中的主干重点知识，为学生设定一个在真实情境中的具体任务，通过这个任务的解决，来考查学生对数学知识本质的理解，评价学生的核心素养水平。

测试情境：函数图像的变换及其应用。

任务特征：用函数与方程的思想方法解决实际问题，把导数作为运算工具，解决函数图像的变换问题。

素养要求：数学抽象，数学建模，逻辑推理，直观想象，数学运算。

第（1）小题测试素养水平一的考查，第（2）小题侧重素养水平二的考查。

【书写规范】

1. 题目名称：函数、导数的综合问题

2. 题目本体：

函数f（x）=x2+2x；g（x）=7lnx+a；

（1） 求f（x）的单调区间；

（2） 当x>0时，函数f（x）的图像恒在函数g（x）图像的上方，求实数a的取值范围.

3. 题目解答：

解：（1）由f（x）=x2+2x得，f（x）的定义域是{x∈R|x≠0}

f′（x）=2x-2x2=2（x3-1）x2，由f′（x）>0得x>1

∴所求f（x）的单调递减区间是（-

SymboleB@ ，0），（0，1）；

所求f（x）的单调增减区间是（1，+

SymboleB@ ）.

（2） 令h（x）=f（x）-g（x）=x2+2x-7lnx-a，h（x）的定义域是（0，+

SymboleB@ ）

h′（x）=2x-2x2-7x=2x3-7x-2x2=（2x2+4x+1）（x-2）x2

由h′（x）>0得x>2；即h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+

SymboleB@ ）上单调递增；

∴h（x）的最小值为h（2）=5-7ln2-a

依题意有5-7ln2-a>0，解得a<5-7ln2

∴所求实数a的取值范围是（-

SymboleB@ ，5-7ln2）

4. 题目编码

單元：01：集合；02：常用逻辑用语；03：一元二次函数、方程和不等式；04：函数概念与性质；05：幂函数、指数函数、对数函数；06：三角函数；07：函数综合应用；08：平面向量及应用；09：立体几何初步；10：统计；11：概率；12：数列；13：一元函数导数及其应用；14：空间向量与立体几何；15：平面解析几何；16：计数原理。17：数学探究：18：数学建模；19：数学文化；20：其他

5. 题目说明：

（1） 本题目/题目来源及版权：

（请在合适处打勾“√”，填写或提供相关内容。）

①题目/题组材料是否存在版权问题？

[√]A：不存在

[]B：存在

[]C：不确定

②题目/题组材料来源

[√]A：原创

[]B：改编请提供原材料来源请提供原材料

[]C：某考试题—请提供原试题来源

[]D：某出版物请提供原试题来源

[]E：其他请说明

（1） 命题过程分析

①利用求函数f（x）=x2+2x的导数来确定其单调区间，

值得注意的是函数的定义域容易干扰学生正确答题。

从初等数学的角度来看，函数f（x）=x2+2x的图像是由函数二次函数y=x2与反比例函数y=2x的图像叠加而成。

用无限逼近的数学思想方法，可以直观画出函数f（x）=x2+2x的图像，其单调性可以直观地直接写出。

②对数函数y=lnx的图像通过变换成y=7lnx的图像，

再向上平移a个单位后为g（x）=7lnx+a的图像，当函数g（x）=7lnx+a的图像恰好与函数f（x）=x2+2x的图像相切是，相应的a值应该为多少。

在拟编题目时，考虑了g（x）图像的函数模型选用指数函数、三角函数与三次方的函数等，都一一进行了尝试，但都没有选择自然对数函数y=lnx好。平移变换考虑过左右平移得到y=ln（x+t），考查相切的位置，但运算相对复杂。平移变换考虑过只进行上下平移得到y=lnx+a，考查相切的位置，但运算也很复杂。再考虑用待定系数法的方式进行放缩变换与平移变换两结合得函数y=mlnx+a，考查相切的位置，充分考虑考试试题的特殊性，选择了m=7这一特殊值，运算量相对适中，于是确定函数g（x）=7lnx+a，通过a值得确定考查g（x）的函数图像与f（x）的函数图像相切的位置。

在（2）题实际求解中设计到2x3-7x-2=0的根的求解，最佳方案就是观察出有一个根是2，在进行多项式的除法进行因式分解，这就是系数m取值为7的快捷之处了。当然，尽管如此，仍然有相当一部分考试是观察不到而无法因式分解，可能采取二次求导等方式来解决也没有关系，这个题的功能主要体现在选拔功能上，主要用于区分985工程院校与211工程院校的。

本测试题目也是我在铜仁市2017年高三诊断性考试命题时理科考试中的原创试题，今年3月中旬，在铜仁市高三年级诊断性考试中进行测试，铜仁市高三理科考试的难度系数为0.28，铜仁一中高三理科考试的难度系数为0.55，铜仁一中理科实验班的难度系数达到了0.76，比预设的期望难度系数要好。

参考文献：

[1]薛党鹏.函数与导数的综合问题[J].中学数学教学参考旬刊，2012（1）：116-122.

[2]王芝平.例谈函数导数综合问题的破解策略[J].高中生之友：高三年级版，2012（11）：26-27.

[3]冯爱银.精彩预设显智慧活学活用才是真——关于《函数与导数的综合问题》点评与教学建议[J].中学数学教学参考旬刊，2012：60-61.