发现数学：改造教与学的方式

【摘要】学生数学抽象、推理、模型等核心素养的发展，需要重视其学习过程的展开。倡导数学发现学习，改造教与学的方式，就是要沿着学科知识发生发展的过程来转变教与学的方法观，按照学生建构知识的规律来形成新的学习观，根据知识镶嵌在情景中的观点来重塑知识观。

【关键词】数学发现学习；教与学的方式；展开过程

【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）65-0015-03

【作者简介】陆志洪，江苏省无锡师范学校附属小学（江苏无锡，214001）教师，高级教师，无锡市数学学科带头人。

培养学生的数学核心素养，需要让学生带着丰富的情感和鲜活的经验进入数学课堂学习，在强烈的好奇心和求知欲的驱使下，发现并获得经验和方法，培养数学思维方式，发展抽象、推理能力和模型思想。怎样实践这样的数学教学呢？我们认为，让学生在发现中展开数学学习之旅，就是要在数学课堂上引领学生经历发现数学的过程，包括发现数学规律、发现数学之美、发现数学问题解决的意义、发现自我的成长等。发现数学学习的教与学，不仅使我们对数学教学中的方法观、学习观、知识观有了新的认识，更对学生将来从事科学发现和创意发明具有现实意义。

一、沿着学科知识发生发展的历程，展开数学发现学习的过程

古今中外数学知识、教学思想的漫长演变过程就是数学家们不停寻找的过程，也就是数学发现的过程。受认知能力及思维水平的限制，对小学生来说，按数学思想方法体系来实施学科知识体系的教与学有一定的困难，但小学数学教材中的每一章节，都体现着知识和思想的有机结合。如果学生追寻大师们发现数学的足迹，沿着数学概念、定理中所蕴含的数学思想的发生、发展、形成的进程来学习数学，不仅可以开启思路、提高学习效率，还可以使教学、研究、发现同步。

1.数学史引领：找寻古今数学思想的发展脉络。

美国数学史家莫里斯·克莱因指出：“历史顺序是教学的指南。”倡导发现数学，就是要从数学发展史角度去学习数学知识、设计教学，了解数学思想方法的演变，如数的产生发展历史、计量单位的产生发展历史等，又如数学发展史上的几个关键点。以关键性问题引领学生去发现历史中的数学知识、思想方法是怎么来的，经历了哪几个发展阶段，其中遇到哪些困难，人们是通过什么方法解决的，从而更好地理解数学的本质和数学思维的特点。如在教学苏教版三下《认识面积》时，教师可以通过以下步骤进行教学：（1）在不能直接比较的情况下，如何比较面积的大小？引出面积单位的必要性。（2）如何使测量出来的面积具有可比性？引出统一面积单位的必要性。（3）如何将面积单位标准化？提示数学有时要通过协商作出规定。（4）如何建立“1平方厘米”的表象？用身边的实物或身体的一部分表示。（5）如何应用新的面积单位进行测量？引出常用的面积单位认识。以上步骤，遵循了人们认识面积单位的发现历程，提供了学习其他计量单位的数学活动经验和研究方法，展现了数学的魅力。

2.数学思想方法感悟：获得概念认知、问题解决的一般途径。

数学学习的发生应有个先决条件，就是学生需先掌握原理，教学时要充分展现知识的形成、发展过程。数学思想方法作为数学学科的“一般原理”，可以引领学生去更清晰地学习，这对他们形成数学思维、掌握数学方法的作用是不可低估的。如面积、体积公式的推导，用转化思想、等积类比思想及猜测验证方法引导学习过程，就可以灵活发现公式的推导线索，使新知顺利地纳入学生已有的认知结构中去。又如在问题解决的学习中，把从条件想起、从问题想起、列举、画图、假设、转化、尝试验证、从问题的简单情形想起等解题策略作为教与学的重要内容，它们在解题上所起的引领作用，是那种“一题一解式”的方法不能替代的。

二、按照儿童建构知识的规律，展开数学发现学习的过程

数学知识学习是一个建构过程，建构不仅是个人的，也是社会的，要注重“学习共同体”的形成以及对课堂社会环境和情境的营造。顺应当前教学改革的趋势，应当从研究教师的教学模式、教学内容切换到研究学生的学习方式上来，用数学思想方法来转换教与学方法，把研究学生学习的方法作为学与教的方法，推进学生学习方式的变革，从而达成数学课堂教学转型。

1.做一个研究者：研究学生的认知建构方式。

要把“學生是如何学数学的”这个问题弄清楚，要研究学生的学习认知。应研究学生适应认知困境的方法：分析认知困难产生的原因，理解所产生的影响；尝试获得对数学学习的控制感；通过自我提升评价来恢复自信。应研究学生以已有知识和经验为基础的主动建构过程。同时，创设良好的学习环境（如场所环境、人文环境、网络环境等）对学生学习认知也很重要。

2.做一个倾听者：在学生对话中生成新的观念。

有真正的数学发现的课堂，应是所有学生轻松自如地参与、自由地交流思考，教师倾听他们自己的做法、想法。正如美国学者埃莉诺·达克沃斯在《精彩观念的诞生》一书中指出的，要依据数学本身的发现过程来设计教学过程，要充分给学生提供机会，让他们主动发现、建构自己的知识，引导儿童精彩观念的诞生。好的数学学习，教师应认真做一个倾听者，通过创设情境让每一个人发现自己的问题，在持续的讨论中遵循并发展自己的观念，让每个学生都有“精彩观念诞生”的机会。

3.做一个反思者：引导学生在反思中再发现。

反思，是发现数学学习的一道美丽的风景。学生在倾听、对话中反思，一边听讲一边思考，可以使他们的认知走向全面和深入；对知识形成过程反思，可以加深他们对数学思想方法的理解，使他们更好地发现知识间的联系，体验数学的本质；在解题后进行反思，可以使学生更新思考角度，发现新的解题路径，优化解题方法，加深对数学思想方法的感悟；对一天的数学学习进行反思，可以丰富学生的学习情感，培养其对习惯转变、目标达成的监控。endprint

三、根据知识镶嵌在情景中的特点，展开数学发现学习的过程

数学尽管抽象，但抽象的数学必有其现实世界的源头。教学时，还原数学这一现实背景的“来龙去脉”，和学生的现实生活相连，无疑是对数学本身的一种尊重，也是数学知识得以完整理解和发现的关键所在。学生的一切间接经验均基于生活中的直接经验，学习内容和学生的生活背景越接近，学生自觉接纳的程度就越高。学生要进行发现数学学习，荷兰数学家弗赖登塔尔为我们提供了思路，即数学应当从学生熟悉的现实生活开始和结束。

1.源于生活：从现实生活中攫取学习素材。

好的生活素材是实现发现数学学习的必要基石。数学的教与学应当从学生的生活及其感兴趣的事物出发，通过营造熟悉的情境、宽松的平台，使他们体会到数学就在身边。同时，要努力挖掘、利用好学生已有的学习经验和资源，为他们创造一个发现、探索的思维空间，使他们徜徉在从生活开始的数学化过程中，发展抽象、建模等能力。当前数学教材的素材本身与学生的生活是密切联系的，教师一方面要利用好原有素材，另一方面要善于开发贴近学生现实的、有发现意义的素材，注意抓住学生心理，既要易于理解，又要具有一定的启发性。生活实践是学生获取数学经验的载体，数学经验是学生展开数学发现的基础。

2.高于生活：引领学生走数学化过程。

生活素材要進行必要的“数学化”才能实现发现数学学习。如教学苏教版三上《认识几分之一》时，教师设计了以下环节：（1）故事引入。在古代，人们是通过摘树上的野果、外出打猎等方式来获取食物的。这次他们的成果是4条鱼、2只兔子和1头鹿。他们应该怎样分享呢？现在平均分的结果不满“1”了怎么办？诸如这一类的问题，在现代生活中我们也会遇到。（2）初步感知“二分之一”。把一个蛋糕平均分成2份，其中的1份怎样表示？（3）深入理解“二分之一”。刚才我们研究了一个蛋糕的，你能不能用纸片（正方形、等腰三角形、圆、等腰梯形等形状的纸片）来做一个呢？你能不能找到1米的呢？（4）认识“几分之一”。在分数王国里，除了这样的分数外，还有其他成员。下面的画面（法国国旗、五角星）让你联想到几分之一？如果把一个图形、一个物体平均分成7份，每份就是它的几分之一？为什么？平均分成10份呢？以上的设计，教师从学生的现实生活出发，不断让知识经验和现实问题发生认知冲突，一步步使学生建立起对分数概念的初步认识，即把一个物体、一个图形、一个计量单位平均分成若干份，其中的一份就是它的几分之一。

3.用于生活：把数学知识回到生活中深化。

在引导学生经历了数学化的过程后，还需要有一个运用、体会、解释、升华的过程，学会用数学的思想去观察、解决新的数学问题，去观察、发现、解读生活现象，从而使学生的思维在现实世界与符号世界间形成一个从具体到抽象再到具体的闭合回路。如在学习苏教版一下《认识人民币》后，可以设计去超市购物的“小体验”，引导学生走进超市、走进生活，学习运用有关人民币的知识，进行一次购物付款体验活动；学习苏教版二下《认识毫米》后，可以设计种蒜头的“小课题”，通过种蒜头这个实验，让学生观察蒜叶生长过程中的长度变化，体验以毫米为单位的物体的实际长度，丰富他们对“毫米”的具体认识；结合自己的学习感受写“小论文”；结合数学学习进行“小比赛”。形式多样的数学活动，点燃了学生心灵深处作为一个发现者、研究者、成功者的激情，激发起学生用数学的眼光去看待生活中的问题，促使学生在鲜活生动的生活课程中经历发现数学的过程，解释数学现象，丰富数学学习旅程，收获数学的理性之美与感性之美。endprint