时间尺度上非保守系统的Lie对称性及其守恒量

林 魏， 朱建青

(苏州科技大学 数理学院， 江苏 苏州 215009)

时间尺度上非保守系统的Lie对称性及其守恒量

林 魏， 朱建青*

(苏州科技大学 数理学院， 江苏 苏州 215009)

研究了时间尺度上非保守系统的Lie对称性及其守恒量.首先，基于时间尺度上微分方程在无限小变换下的不变性，导出了时间尺度上Lie对称性的确定方程；然后，建立了时间尺度上非保守系统的Lie对称性的结构方程，以及时间尺度上非保守系统的Lie对称性的Noether型守恒量；最后，举例说明其结果的应用.

时间尺度; 非保守系统; Lie对称性; 守恒量

对称性和守恒量理论的研究是现代数理科学中的一个重要研究领域，也是分析力学近代发展中的一个重要方向.1979年Lutzky等人给出了分析力学中Lie对称性[1]，主要阐述了微分方程在无限小变换群作用下，具有不变性.此后，Lie对称性在动力学系统中有了广泛的研究[2-11].但是随着社会生产的实际需要，经典力学系统已不能满足实际问题.

1988年Stefan Hilger提出了时间尺度上的微积分理论[12]，这种独特的理论有效的将离散系统和连续系统的研究统一了起来，并且该理论不仅在物理学、最优控制、工程等领域中有广泛的应用[13-18]，还在分析力学的研究中吸引了广大学者的关注[19-23].对于时间尺度上微积分理论的研究，国内外学者分别展现了自己的研究成果.如，2004年，Bohner研究了Eluer-lagrange方程在时间尺度上的表达形式及时间尺度上的偏微分问题[24-25]；2008年，Bartosiewicz和Torres将Noether对称性推广到了时间尺度上[26]；2010年詹再东和韦维研究了时间标度上的Taylor公式及链式法则[27]；2011年Bartosiewicz等学者进一步研究了时间尺度上二阶Eluer-lagrange方程变分问题[28]；2013年蔡平平在他的硕士论文时间坐标上约束力学系统的对称性理论研究中提出了Lie对称性的研究[29].至此，对于时间尺度上Lie对称性的研究刚刚起步，本文试图对时间尺度上非保守系统的Lie对称性及其守恒量的研究进行些探讨.

1 时间尺度上微分方程的不变性

文中所涉及时间尺度上的微积分理论的定义及其有关性质请参阅文献[13].

对于时间尺度上Lie对称性的研究是基于微分方程在无限小变换下的不变性为出发点的.下面将从时间尺度上一阶微分方程和二阶微分方程在无限小变换下的不变性进行讨论.

1.1 时间尺度上一阶微分方程的不变性

假设时间尺度T上一阶微分方程表示为

(1)

取无限小变换为

x*=x+εξx，y，y*=y+εηx，y.

(2)

如果有

(3)

则称方程(3)相对于方程(1)是在时间尺度上的保形不变的，其中Gx，y为保形因子，

根据式(3)得到

(4)

方程(4)称为时间尺度上微分方程在无限小变换下的确定方程.

1.2 时间尺度上二阶微分方程的不变性

讨论时间尺度T上二阶微分方程

(5)

在无限小变换下的不变性.问题转化为如下两个一阶微分方程

ν-Δy=0，Δν-fx，y，ν=0，

(6)

的不变性，其中

(7)

取无限小变换

(8)

则

于是令

(9)

又有

(10)

在变换(8)下，方程(6)的第二个保持不变，有

(11)

现将式(10)代入式(11)中，并展开f，得

由时间尺度上保形不变性得

(12)

(13)

方程(13)称为系统的确定方程.

2 时间尺度上Lagrange系统的运动方程

设力学系统的位形由n个广义坐标qss=1，2，…，n确定，时间尺度T上非保守Lagrange系统的运动方程为

(14)

(15)

将方程(14)展开，可求出所有的广义加速度，简记为

(16)

3 时间尺度上Lie对称性的无限小变换与生成元

取时间t和广义坐标qss=1，2，…，n的无限小单参数变换群

(17)

其中，ε为小参数，ξ0，ξs为无限小变换的生成元.

引入无限小生成元向量

(18)

其一次扩展

(19)

以及它的二次扩展

(20)

根据微分方程在无限小变换下的不变性理论知，方程(16)在无限小变换(17)下的不变性表为

(21)

它可表为

s=1，2，…，n.

(22)

称方程(22)为方程(16)的确定方程.

定义如果无限小变换(17)的生成元ξ0，ξs满足确定方程(22)，则称对应的对称性为时间尺度上非保守Lagrange系统的Lie对称性.

4 结构方程与守恒量

(23)

则非保守系统(14)存在如下形式守恒量

(24)

证明

如果T=，则σt=t，μt=0，于是式(23)给出了经典的非保守力学系统的Lie对称性的结构方程[3]

(25)

而守恒量(24)也成为经典的非保守力学系统的Lie对称性的Noether型守恒量

(26)

5 算例

定义时间尺度T=2n:n∈∪0，假设广义力系统的Lagrange函数为

(27)

受到的非保守力为

(28)

首先，由(14)式可得系统的运动微分方程为

(29)

(30)

其次，建立时间尺度上Lie对称性的确定方程并求解.由确定方程(22)可得

(31)

(32)

方程(31)和(32)的解为

ξ0=0，ξ1=t，ξ2=1.

(33)

然后，建立时间尺度上Lie对称性的结构方程，并求解规范函数.由结构方程(23)得

(34)

由方程(34)可得

(35)

最后，求Lie对称性导致的Noether型守恒量，将方程(35)代入守恒量(24)中得

(36)

如果T=，σt=t，μt=0时，由式(26)知，系统有如下守恒量

(37)

6 结论

本文基于时间尺度上微积分理论，结合变分原理与Taylor展开方法，研究了非保守力学系统的Lie对称性.最终，得到了时间尺度上非保守系统的Lie对称性的确定方程、结构方程与守恒量，建立了时间尺度上非保守系统的Lie对称性的Noether型守恒量.当μt=0时，该文结果可退化到连续系统下的Lie对称性.因此，本文更具一般性，其思想方法可推广到时间尺度上非完整系统的Lie对称性等的研究中.

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Liesymmetryandconservedquantityfornon-conservativesystemsontimescales

LIN Wei, ZHU Jianqing

(College of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou, Jiangsu 215009, China)

In this paper, Lie symmetry and conserved quantity for non-conservative systems on time scales are studied. Firstly, based on the invariance of the differential equations on time scales under the infinitesimal transformations of groups, the determining equations of Lie symmetry on time scales are provided. Secondly, the structure equations of Lie symmetry for non-conservative systems on time scales are established, and formulation of the Noether conserved quantity is constructed. Finally, an example is presented to illustrate the application of the results.

time scales; non-conservative systems; Lie symmetry; conserved quantity

2017-05-12.

国家自然科学基金资助项目(11572212)；苏州科技大学研究生科研创新计划项目(SKCX16_057)．

*通讯联系人. E-mail: zjq@mail.usts.edu.cn.

10.19603/j.cnki.1000-1190.2017.06.008

1000-1190(2017)06-0772-05

O316

A