高考试卷难度与区分性能分析研究①

任子朝 佟 威 陈 昂

(教育部考试中心 100084)

1 问题的提出

(一)实行课标后的高考数学试卷的难度

2007年实行课程标准后的高考，10年来随高中课程改革的不断推进，使用课标的省份逐渐增加，考生的常模不断发生变化，高考试卷的难度也根据考生群体的变化逐年调整，以适应考生水平的变化.10年来数学试卷的难度怎样？选择题、填空题、解答题三种题型中哪种题型的难度比较稳定？

(二)数学试卷中哪种题型的得分率对总分的影响最大

数学科高考试卷包括选择题、填空题、解答题三种题型.三种题型考查的目标各有侧重，选择题和填空题主要集中在对知识的了解和理解层次的考查，主要是使试卷有较大的覆盖面.依据测验分类，应该属于速度测验.解答题侧重对数学能力的深入考查，更多地发挥选拔和区分功能，应该属于难度测验.三种题型试题的难度经过加权平均得到整卷的难度，哪种题型的试题对整卷难度的影响最大？在进行整卷难度调控时应该首先考虑调整哪种题型的试题？

(三)试卷的难度和试卷区分能力的关系

数学实行文理分科，虽然每年文科试题都比理科试题容易，但文科试卷统计难度都高于理科试卷，差距在10个百分点左右.那么文科试卷的区分能力怎样？试卷的难度对区分能力的影响有多大？

针对这些问题，我们对实行课程标准后高考10年来的15份试卷的统计数据进行了分析研究.

2 数据分析

(一)基本统计量描述

在2007年～2016年10年间使用15份高考理科数学课标卷的省份随机抽样选取了若干样本，计算得到三道大题以及整卷通过率(得分率)的统计数据.[1]通过率代表着试卷或者试题的难度，通过率越高说明难度越小，通过率越低说明难度越大.

表1 2007-2016年高考理科数学课标卷统计数据

从每一年份来看，选择题、填空题和解答题的平均难度呈依次增加的态势，试卷总体难度在0.50左右，符合设计的要求.各年选择题、解答题和整卷难度比较稳定，波动较小，填空题难度相对波动较大.

(二)大题难度与整卷难度的关系

三种题型哪种试题对总分的影响最大，我们应用四种方法进行了研究.

1.三种题型分值比例

设整卷难度为A，三道大题难度分别为T1、T2、T3，则整卷难度与三道大题难度的线性关系为：

很明显，在理论上而言，大题难度对试卷难度的影响由其所占的比重决定.第三大题总分为70分，对试卷难度的影响也最大.第三大题的难度提高0.1，整个试卷的难度将会增加0.04667.相应地，提高0.1个单位的第二大题的难度，整个试卷的难度只会增加0.0133.通过这个线性关系式，我们可以定量地描述题目难度与试卷难度之间的线性关系，由此推断解答题在全卷难度稳定中发挥的作用最大.

2.考生在三种题型得分的比例

然而，由于三道大题在难度设置和试卷构成中具有各自特点，同时学生在作答过程中会应用不同的解题策略等，从学生实际作答数据结果来看，在学生的得分构成中，三道大题得分比重与三道大题的分值比重有所不同.

表4 学生在三道大题上的实际得分在总得分中所占比重[1] [2]

从表中可以看出，第一大题在学生总得分中所占比重最大，理科占到55%，文科占到58%；而分值较大的第三大题在学生实际得分中的比重有所降低，理科占到33%，文科占到30%.这说明，难度较低的第一大题对于学生在整个试卷的得分有很大程度影响.这种方法得出与上面分析不同的结论，还需要进行进一步的研究.

3.三种题型难度与试卷难度的回归分析

把试卷中三种题型实际难度做为自变量(第一大题为x1，第二大题为x2，第三大题为x3)，整卷的实际难度做为因变量y，通过标准化转化，然后建立多元回归分析模型，基于表1数据可以得到三个自变量的回归系数(P值)为0.331(P<0.001)、0.239(P<0.001)和0.62(P<0.001).

从回归系数中可以看出，第三道大题的标准化回归系数远远大于第一、二道大题，说明第三道大题对整卷难度的解释率更大，也就是影响更大.特别地，从第三大题与整卷难度的散点图分布也可以看出，两者之间存在很清晰的线性相关性.

(横轴：第三大题难度；纵轴：整卷难度)图1 第三大题难度与整卷难度的散点图

4.三种题型难度与整卷难度相关分析

表5 三道大题与整卷难度相关系数(P值)

在相关系数方面，第一大题和第二大题、第三大题相关系数很低，而且并不具有统计学上的显著性意义；第二大题和第三大题相关系数很大，而且是显著的.这说明，选择题因为有备选项可以校验和提示，而且还有一些特殊的解题方法可以运用，其与填空题和解答题还是有一定的区别的.填空题和解答题这类主观性试题对于考生的测量质性方面具有很多相同的特征.

在整卷难度与各个大题之间难度的相关性方面，第三大题与整卷难度的相关性最高，第一大题与整卷难度相关性最低.这说明，虽然第一大题所占学生得分比重很高，但是对于学生的甄别和筛选作用不如解答题.第一大题更多考查的是较为基础数学能力和素养，解答题则侧重于考查更为高阶和复杂的数学素养，能力要求较高，学生得分率低，但更有利于区分考生，与学生总得分率的相关性也较高.

这四种方法从不同的角度研究了三道大题和整卷难度的关系，得出的结论也略有不同.综合考虑来看，第三道大题与整卷难度关系相关性最高，对整卷难度的影响也较大，这也从基于数据的实证研究角度佐证了高考命题中对于解答题的定位，即解答题对高考数学整卷难度起到的决定性的作用.

(三)试卷的标准差和变异系数

标准差是考生分数离散程度的统计指标，标准差越大说明考生间的分数差异越大.

变异系数(Coefficient of Variation，简称CV)用于比较两组数据离散程度的大小.如果两组数据的测量尺度相差太大，或者数据量纲不同，直接使用标准差来进行比较就不合适了.此时就应当消除测量尺度和量纲的影响，而变异系数可以做到这一点，变异系数是原始数据标准差与原始数据平均数的比.

变异系数没有量纲，可以直接进行客观比较.我们可以认为变异系数和极差、标准差和方差一样，都是反映数据离散程度的统计量.变异系数不仅受变量值离散程度的影响，而且还受变量值平均水平大小的影响.

1．试卷变异系数

试卷的变异系数可以用来衡量考生分数的分布情况，并没有统一规定的阈值范围，通常情况下，变异系数越大，分数分布越分散；变异系数越小，分数分布越集中.高考理科数学和文科数学卷的变异系数均较高，这说明，整个试卷分数分布很均匀，并没有集中在某个分数区间.特别是，文科数学卷的变异系数整体上高于理科数学试卷.这说明，虽然文科数学试卷平均得分低于理科数学试卷，对于考生而言试题较难，但是，由于考生分数的标准差较大，所以文科试卷依然保持着合理甚至优于理科试卷的分数分布，有利于区分和甄别考生.

2．变异系数和难度、标准差的关系

从表3中可以看出，无论是理科试卷还是文科试卷，难度和变异系数都具有明显的负相关，这就说明，难度偏高的试卷，变异系数也相对较高；难度偏低的试卷，变异系数也相对较低.试卷的标准差和变异系数没有显著相关性.

表2 2007-2016年高考文理科数学课标卷分数变异系数

表3 2007-2016年高考文理科数学课标卷分数变异系数与难度和标准差的相关系数(P值)

进一步做出通过率与标准差和变异系数的散点图，可以更直观地分析其关系.

(横轴：通过率；纵轴：标准差) 图2 理科数学通过率与标准差散点图

(横轴：通过率；纵轴：变异系数)图3 理科数学通过率与变异系数散点图

(横轴：通过率；纵轴：标准差)图4 文科数学通过率与标准差散点图

(横轴：通过率；纵轴：变异系数)图5 文科数学通过率与变异系数散点图

从文理两科数学试卷的通过率与标准差的散点图，可以看到两者具有比较明显的正相关的线性关系；但通过率与变异系数的散点图可以看出两者具有比较明显的负相关的线性关系.因此在判断试卷的难度对试卷的区分能力的影响时，不能单从标准差一个维度进行考虑，要结合变异系数进行综合评价.对理科试卷，难度控制在0.5左右，标准差和变异系数达到比较好的平衡；对文科试卷，目前还没有通过率超过0.5的试卷，需要积累更多的资料.单就现有统计数据，难度在0.4左右标准差和变异系数能达到比较好的平衡.对于试卷的难度控制要综合考虑标准差和变异系数，使试卷的难度既有利于对学生的精确区分，又有利于鼓励学生学习的积极性.

3 结语

(一)选择题和填空题应控制难度.通过数据分析可以看出，选择题、填空题和解答题的难度依次上升，基本符合考试设计，也符合各种题型的考查功能和题型特点.因为选择题、填空题没有中间过程，凭借最后的结果判定成绩，所以在命题过程中需要控制试题的复杂程度和解题的过程，不能过于复杂，过程也不能过长，否则一知半解和功亏一篑是同样的效果，可能造成中上学生不能完全展现水平，影响考试的成绩和题目的区分度.另外选择题本身就有25%的猜测几率，如果试题过难就会影响试题的区分度.综上，选择题和填空题应该控制难度，试题不能过难.考生反映和定性分析也证实，试卷的入门题如果过难可能影响考生的情绪，同时也可能造成耗时过多，影响后面的答题.

(二)解答题是能力考查的着力点，难度稳定的压仓石.解答题的考查目的是系统考查思维过程、深入考查能力水平.数据分析显示解答题的难度与整卷难度的相关最大，因此在进行试卷难度调节时，首选应是解答题.高考数学的解答题一般采用分步设问、梯次递进的方式设计.这样的设计包括两方面的意义，一方面是五个(或六个)解答题的难度逐步上升；另一方面是对每个解答题而言，都是设置两个或三个问题，第一个问题都是基础题，一般考生都能解答，后面两个问题难度逐步上升，达到区分考生的目的.在考虑整卷难度控制时，我们除了要考虑不同大题自身分值比重影响之外，还要结合以往学生实际作答情况，有针对性的进行题目设置和难度调整.

(三)科学评价试卷的区分功能，合理调控难度.高考的主要功能是区分考生，为高校录取提供有效的高考分数.因此其区分能力应是评价试卷质量最重要指标.标准差和变异系数应该给予更多的关注.难度只是评价试卷的一个指标，而且对高考而言并不是十分重要的，但因为其牵涉考生的得分情况、考生的心理感受以及各省录取的分数线，因此受到了超乎寻常的关注.从本文的分析可以看出，试卷只要不是过易或过难，其对考生的区分精细、明确，就是可接受的范围.因此高考应该根据区分和选拔的主体任务，合理调控试卷的难度，使试卷更好地发挥区分功能和对中学教学的导向作用.