数列模式化解题策略研究（3）

孙亚坤

内容提要：数列与不等式交汇在高考中主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题.

关键词：不等式与数列综合；数列压轴；激发潜能；模式化

数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查.主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用.此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能.近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视，考查数学归纳法与不等式的交汇等.比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现.数列解答题的命题热点是与不等式交汇，呈现递推关系的综合性试题.其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题.笔者结合教学工作的实际谈谈数列综合问题和不等式方面的粗浅认识。

类型一、求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题

例1、设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，2Snn=an+1-13n2-n-23，n∈N*.

（1）求a2的值；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有1a1+1a2+…+1an<74.

解（1）、2S1=a2-13-1-23，又S1=a1=1，所以a2=4.

（2）、当n≥2时，2Sn=nan+1-13n3-n2-23n， 2Sn-1=（n-1）an-13（n-1）3-（n-1）2-23（n-1），两式相减得2an=nan+1-（n-1）an-13（3n2-3n+1）-（2n-1）-23，

整理得（n+1）an=nan+1-n（n+1），即an+1n+1-ann=1，又a22-a11=1，

故数列ann是首项为a11=1，公差为1的等差数列，所以ann=1+（n-1）×1=n，所以an=n2，所以数列{an}的通项公式为an=n2，n∈N*.

（3）证明：当n=1时，1a1=1<74；当n=2时，1a1+1a2=1+14=54<74；

当n≥3时，1an=1n2<1（n-1）n=1n-1-1n，此时1a1+1a2+1a3+…+1an=1+14+132+142+…+1n2<1+14+12×3+13×4+…+1n（n-1）

=1+14+12-13+13-14+…+1n-1-1n=54+12-1n=74-1n<74，

所以对一切正整数n，有1a1+1a2+…+1an<74.

注：求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：（1）若函数f（x）在定义域为D，则当x∈D时，有f（x）≥M恒成立f（x）min≥M；f（x）≤M恒成立f（x）max≤M；（2）利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得.

类型二 数列参与的不等式的证明问题

例2、已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3=7，S4=24.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设p、q都是正整数，且p≠q，证明：Sp+q<12（S2p+S2q）.

解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差是d，依题意得， a1+2d=74a1+6d=24，解得 a1=3d=2，

∴数列{an}的通项公式为an=a1+（n-1）d=2n+1.

（Ⅱ）证明：∵an=2n+1，∴Sn=n（a1+an）2=n2+2n.

2Sp+q-（S2p+S2q）=2[（p+q）2+2（p+q）]-（4p2+4p）-（4q2+4q）=-2（p-q）2，

∵p≠q，∴2Sp+q-（S2p+S2q）<0，∴Sp+q<12（S2p+S2q）.

注：利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化.

类型三、求数列中的最大值问题

例3、设等差数列{an}的前项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为______.

解： ∵等差数列{an}的前项和为Sn，且S4≥10，S5≤15，

∴ S4=4a1+4×32d≥10S5=5a1+5×42d≤15，即 a1+3d≥5a1+2d≤3，∴ a4=a1+3d≥5-3d2+3d=5+3d2a4=a1+3d=（a1+2d）+d≤3+d，

∴5+3d2≤a4≤3+d，则5+3d≤6+2d，即d≤1.

∴a4≤3+d≤3+1=4，故a4的最大值为4.

注：求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：（1）建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；（2）首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；（3）利用条件中的不等式关系确定最值.

类型四、求解探索性问题

例4、已知{an}的前n项和为Sn，且an+Sn=4.

（Ⅰ）求证：数列{an}是等比数列；

（Ⅱ）是否存在正整数k，使Sk+1-2Sk-2>2成立.

解：（Ⅰ）由题意，Sn+an=4，Sn+1+an+1=4，

由两式相减，得（Sn+1+an+1）-（Sn+an）=0，即2an+1-an=0，an+1=12an，

又2a1=S1+a1=4，∴a1=2，∴数列{an}是以首项a1=2，公比为q=12的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ），得Sn=2[1―（12）n]1―12=4-22n.又由Sk+1-2Sk-2>2，得4-21k-24-22k-2>2，整理，得23<21k<1，即1<2 k 1<32，∵k∈N*，∴2k1∈N*，这与2k1∈（1，32）相矛盾，故不存在这样的k，使不等式成立.

注：数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.

总之，数列综合问题，在每年的高考中都是考察的重点，特别是综合问题与不等式的结合，学生在解决时有很大的难度，得分不易，得满分更不易。因此在教学中，归纳一类问题的解题策略和解题模式对提高教学水平和学生高考成绩有极其重要的作用。

參考文献：

[1]高中数学课程标准；

[2]2000--2017年高考考纲；

[3]2000--2017年高考数学原题。endprint