全等三角形中辅助线的添设探讨

江苏省丰县欢口镇育英初级中学 张 朋

全等三角形中辅助线的添设探讨

江苏省丰县欢口镇育英初级中学 张 朋

全等三角形作为平面几何图形中的一种，其知识内容不仅是中考当中的必考知识点，同时也是判断学生是否良好掌握数学平面几何知识的依据之一。在全等三角形的解题过程中，通过合理运用辅助线，能够为全等三角形的解题带来一定的帮助。为此，本文笔者将针对如何在全等三角形中添加辅助线进行介绍，并对辅助线的不同添设方式进行分析。

一、倍长中线，构造全等三角形

在验证三角形是否属于全等时，如果图形当中有三角形的中线，则可以倍长中线，并延长其与原来的中线，确保长度相等，从而构成全等三角形。如图1所示，我们已知在△ABC当中，∠ABC=∠ACB，这时延长AC到D，使AB=CD，BE则成为△ABC的中线。这时需求证2BE=BD。

图1

在分析的过程中我们可以得知，倍长中线的方式可以用来确定其为全等三角形。而为了证明2BE等于BD，则需要确保BE是△ABC的中线，因此延长BE到F，得到BD等于2BE的结果，并将需要证明的2BE等于BD转化成证明BF等于BD。通过这样的方式，便可以将线段的倍和半的数量关系进行有效转化。

证明思路如下：延长BE到F，使其BE=EF，之后连接CF。因为BE=FE，∠AEB=∠CEF，AE=CE，所以△ABE≌△CFE（SAS），所以AB=CF，∠A=∠FCE。又因为AB=CD，所以CF=CD。因为∠BCD=∠ABC+∠A，∠BCF=∠ACB+∠FCE，同时∠ABC=∠ACB，∠A=∠FCE，所以∠BCD=∠BCF，并且BC=BC，所以△BCD≌△BCF(（SAS）。所以BD=BF。因为2BE=BF，所以2BE=BD。

二、截长补短，确保特定线段与之相等，构造全等三角形

截长补短的方式可以有效构造全等三角形。其具体做法是在某一线段上进行截取，并确保截取的线段和特定线段相等，之后利用三角形全等的特点来进行分析。截长补短的验证方式，较为适合使用在验证线段的分、倍、差、和的题目当中。截长补短法当中的截长法是通过在长线段当中进行截取，确保截取段与两条线段当中的一条相等，用以证明另外一条的线段长短。补短法则是通过延长其中一条线段，使其和长线段相等，从而证明延长的部分和另一条短线段相等。

如图2所示，已知AD∥BC，点E在AB线段上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB，需要求证CD=AD+BC。

图2

通过分析可以得知，其结论是CD=AD+BC，可以通过使用截长补短法当中的截长法来进行验证。在CD上截取CF=CB，再对DF=DA进行验证即可。通过这样的方法，可以转化成证明两条线段相等的问题，更好地对问题进行简化，帮助学生进行解题。

证明思路如下：首先取CF=CB。在△FCE和△BCE当中，CF=CB，∠FCE=∠BCE，CE=CE，所以△FCE≌△BCE(SAS)，所以∠2=∠1。又因为AD∥BC，所以∠ADC+∠BCD=180°，所以∠DCE+∠CDE=90°。所以∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，所以∠3=∠4。在△FDE和△ADE当中，∠FDE=∠ADE，DE=DE，∠3=∠4，所以△FDE≌△ADE(ASA)。所以DF=DA。又因为CD=DF+CF，所以CD=AD+BC。

三、合理使用角平分线的性质，从而构造全等三角形

在几何题目当中，如果出现角平分线的条件时，则可以通过在角平分线上任意一点向角两边做垂线，从而对三角形进行变化，通过逆定理的方式来进行全等三角形的问题思考。

如图3所示，△ABC的∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D点，能否在AB上确定一点，使△BDE的周长等于AB的长？

图3

解题思路为：过D作DE⊥AB，交AB于E点，这时E点可满足条件。因为∠C=90°，AC=BC，并且DE⊥AB，所以DE=BE。因为AD平分∠CAB，并且CD⊥AC，ED⊥AB，所以CD=DE。由HL可以验证Rt△ACD≌Rt△AED，所以AC=AE。所以△BDE的周长=BD+DE+EB=BD+DC+EB=BC+EB=A C+EB=AE+EB=AB。

四、有高时将高作为对称轴，对图形进行对折，从而构造全等三角形

在有高的情况下，通过将高进行对折，可以得到对折虚线，借以进行全等三角形的验证。如图4所示，△ABC中，∠C=2∠B，AD为三角形的高。求证AC=BD-CD。

图4

证明思路为：在线段DB当中取一点E，使DE=DC，之后连接AE，可以证明△ACD≌△AED（SAS），所以AE=AC，∠AED=∠C。又因为∠C=2∠B，并且∠AED=∠B+∠BAE，所以∠B=∠BAE，所以AE=BE，所以BE=AC。又因为BE=BD-DE，所以AC=BDCD。

在上文中我们可以看出，通过添加辅助线的方式，可以使全等三角形的解题思路更加明确，通过添设辅助线，全等三角形的求证更加清晰。而绝大多数全等三角形题目当中，通过添加辅助线都可以使学生更好地对其计算过程和求证方式进行掌握。因此，为了更好地进行全等三角形的学习掌握，应当不断加强对各类添加辅助线的方式的学习，并在实践的过程中逐步加强掌握熟练度。

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[3]鲍聪晓.大有用场的全等三角形[J].中学生数理化（八年级数学）（配合人教社教材），2017（09）.