笔算开平方，你也来试试吧！

余中华

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余中华

平时有同学会问：“不用平方根表和计算器，可不可以求出一个数的平方根呢？”我们先一起来研究一下，怎样求？这里1156是四位数，所以它的算术平方根的整数部分是两位数，且易观察出其中的十位数是3.于是问题的关键在于：怎样求出它的个位数a（设其个位数为a）.为此，我们从a所满足的关系式来进行分析.

根据两数和的平方公式，可以得到：

1156=（30+a）2

即1156=302+2×30a+a2，

所以1156-302=2×30a+a2，

即256=（3×20+a）a.

这就是说，a是这样的一个正整数，它与“3×20”的和，再乘它本身，等于256.

为了便于求得a，可用下面的竖式来进行计算：

根号上面的数3是平方根的十位数.将256试除以“20×3”，得4.由于4与“20×3”的和为64，64与4的积等于256，4就是所求的个位数a.竖式中的余数是0，表示开方正好开尽.于是得到1156=342，或=34.

上述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根或其平方根的近似值，它的计算步骤如下：

1.将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开（如竖式中的11＇56），分成几段，表示所求平方根是几位数；

2.根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数（如竖式中的3）；

3.用第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数（竖式中的256）；

4.把求得的最高位数乘20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商（如“3×20”除256，所得的最大整数是4，即试商是4）；

5.用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商.如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试［如竖式中（20×3+4）×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数］；

6.用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数.

如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值.例如求的近似值（精确到0.01），可列出下面的竖式，并根据这个竖式得到≈3.54.

笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个正数的平方根的具有任意精确度的近似值.

我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前1世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法.据史料记载，国外直到公元5世纪才有对于开平方法的介绍.

江苏省海安县墩头镇仇湖初级中学）