“学习进阶”理念下谈均值不等式求最值

江苏省宜兴市丁蜀高级中学 赵雪梅 汤文兵

“学习进阶”理念下谈均值不等式求最值

江苏省宜兴市丁蜀高级中学 赵雪梅 汤文兵

“均值不等式求最值”一节的教学设计与实践，探讨基于学习进阶理论建构循序渐进的序列解决问题的教法，增强学生思维能力的培养，提升科学素养。

学习进阶；均值不等式；最值

目前，我国的基础教育仍处于改革中，各种国内外先进的教学理念纷纷登台亮相，“学习进阶”也成为科学教育研究的新领域之一。学习进阶是近十年来国际科学教育界的热点研究领域，比较典型的界定是认为“对学生在一个时间跨度内学习和探究某一主题时，依次进阶、逐级深化的思维方式的描述”。显然，学习进阶理论是对“应该为学生设定怎样的学习路径”这一问题的探索，是一种用来研究学生思维方式发展层次的理论。

学习进阶的思想认为学习是一种不断积累、发展的过程，学生对知识的理解与掌握不是一蹴而就的，其中必然要历经多个不同层级的中间水平。学习进阶的起点是指学生已有的经验和知识，终点则多为社会对学生的期望，在两个端点之间存在的多个中间水平则描述了学生对知识的理解是不断发展的。本文对苏教版高中数学必修5中“均值不等式求最值”一课进行相应的实践研究，探讨“学习进阶”理论在高中数学课堂教学中的应用。

一、进阶起点

进阶起点1：学生在前面所学函数中求最值的方法，如二次函数法、判别式法、单调性法、数形结合法等。

进阶起点2：学生在均值不等式的证明的有关问题中，已经解决了诸如等简单类型的最值，具备了利用均值不等式求较复杂问题最值的能力。

二、进阶终点

使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题，让学生对均值不等式有更深的体会，同时对定理中的限制条件也有更深的理解。

三、进阶学习障碍分析

障碍2：均值不等式求最值需“和定”或“积定”，学生在初学均值不等式时，对“定值”的理解往往还局限于具体的数或字母，如x和的积为定值，x和的和为定值等他们也知道，但尚缺乏主动寻找、构造及运用的意识。

障碍3：均值不等式求最值的最后一个程序为需验证两个变量能否“相等”，这一步其实不难，但有些同学做了前两步己觉大功告成，最后一步自动忽略，功亏一篑。

障碍4：学生缺乏应用“均值不等式求最值”的主动意识和变化能力，只会就题论题，难以通过变式、换元等方法将所解问题转化为“基本不等式”题型求最值。

四、“均值不等式求最值”应用

层级一：就理论题，一以贯之

利用均值不等式求最值时，所用定理简述为：“和定积最大”、“积定和最小”，这是均值不等式求最值的进阶起点，运用这个定理求最值要遵循“一正、二定、三相等”的原则。欲使学生由起点水平进阶为中间水平阶段，完成一定量的基本练习必不可少，在讲评和练习中熟悉常规题型的求解。不能期望一步到位，教师必须精心设计这个学习路径。

水平1：尝试基本不等式法、函数法，无果而终，约占50%以上。

求解此例的关键是条件中“1”的整体代换，可直接代换，再展开成均值不等式的形式，从而利用均值不等式求出函数的最小值。水平2的同学能想到连续两次应用均值不等式，但忽视了相等条件不一这个事实。水平3当然是我们期望的解法，但对刚接触基本不等式的学生来讲难度很大。用均值不等式求最值是此阶段的进阶终点，适当的变式训练，可以进一步了解这一内容上学生的进阶维度。对上述例题可形成如下变式：

由上可知解题的第一层级就是“解”，就是想尽各种办法用所学定理、性质解决当前的问题。这一层级的学习基本上是就理论题，方法较为单一，主要是是用模仿加勤奋推动学习进步，该层级学生往往只能处于中游水平，学习辛苦，但进步不大。

层级二：寻隐挖潜，化繁为简

在用均值不等式求最值时，有些问题的定值条件往往被刻意隐藏，初看好像用不上均值不等式，有的则是随着解题的展开出现在解题过程中。因此解题时应充分挖掘题设条件，并时时注意解题过程中是否冒出定值的苗头，联想均值不等式对应题型灵活求解。

层级三：回归课本，触类旁通

解题的第三层级是“归”，这一层级的学生把学习当成一件有意义的事。看书时常想这些知识可应用于何处，做题时常思这些问题和书本的哪些基础知识有联系。他们在学习上有着上下求索的态势，力争“打通”书本知识和习题之间的关系。

这节关于“均值不等式求最值”的教学设计，基于进阶分层理论设计了学生分层学习的路径，按“直接应用、变化应用、发散应用”三个层级设置具体学习内容。对于所教主题的教学内容进行了认知心理分析，根据教学实际情况随时了解学生对某个具体问题的认知水平，知道了什么？理解了什么？可以做到什么程度？从这些有用信息中即时评价、修订目标，设计合适的教学路径。让学生由起点水平逐渐发展为具有良好科学素养的理解水平，进一步通过评测并结合预期表现，让学生顺次抵达学习进阶中相互关联的多个成就水平，争取更多的学生进阶终点水平。

[1]刘晟，刘恩山.学习进阶：关注学生认知发展和生活经验[J].教育学报，2012（2）.

[2]皇甫倩，常珊珊，王后雄.美国学习进阶的研究进展及启示[J].外国中小学教育，2015（8）.