浅谈数学中的对称性及其应用

段恩祥

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）16-0112-01

一、日常对称及数学中的对称性

人们在日常生活中对对称的理解很简单，事物两边的分布基本相同，就看作是对称的。对称图形在我拉生活中比比皆是。

对称性在数学研究中有不可替代的作用，并且在数学应用领域中非常广泛，在做题过程中，应用对称性可以便于理解，起到事半功倍的作用。

二、数学中对称性的表现

数学中对称性在现实生活中应用随处可见，处处都离不开它。并且在数学中我们都可能用到对称性，生活中更是离不开它。数学中所有公式、图形、结构等等的对称，都被看作是数学中对称性。

小学数学中有奇数、偶数；初中数学中有正数、负数；高中数学中像二项式展开：，，，…对称最明显，再比如：点P（m、n）关于x轴的对称点 P0（m、-n），P和P0两点关于x轴的对称。数学中的对称还有很多等等。

（一）图形的对称：数学中的图形大多数是对称图形，对称图形分为中心对称、轴对称等等。比如，圆既是中心对称也是轴对称图形；球体是中心对称而且所有过对称中心的平面都是对称平面。立体几何图形中对称轴最多的是球形，平面图形中对称轴最多的是圆形。

生活中建筑物中有很多是对称的，例如故宫、天安门、人民大会堂、等建筑都体现了对称性，这些建筑都是数学中的轴对称图形和中心对称图形在实际中的应用。

（二）数字的对称：在自然数中，我们把从左向右看和从右向左看数字都一样，换句话说，就是“数字排列左右对称”，就把它叫做“回文数”。比如232、23432、123454321都是回文数。当然，由同一个数字组成的数，如2222、333就是回文数，84+48=132，132+231=363，363也是个回文数。人们对大自然进行了这样的计算，都得到了回文数。

（三）公式的对称：在我们所学过的数学公式中，对称一直存在。比如加法、乘法的运算定律：，，等；完全平方差以及平方差公式：。在计算三角形面积的公式中也存在着很多的对称性。

二项式定理的展开式呈现的也是一种对称性：，，，…展开式的系数当1，2，3… 时，列成表便出现了一种几何对称：

上图除1以外的每个数都等于上边两个数之和，这就是著名的“杨辉三角”，它是我国数学发展史上的一个辉煌成就，它反映的就是数学中的典型对称性。

三、数学概念与定理的对称性

数学对称性也表现在各种概念和定理的对称性。如正弦定理，概括了三角形边、角与外接圆的半径之间的关系，结构对称。奇数与偶数、也可视为对称关系。从运算关系角度看，加与减、乘与除、乘方与开方，指数与对数、微分与积分等等，这些互逆运算都是对称关系，从函数角度看，函数与反函数也是一种对称，从命题角度看，原定理与逆定理、否定理也存在着对称关系等等。

四、数学解题中对称性的应用

生活中对称是人们看一个物体是否美观的标准，它不仅已经成为一种深刻的思想，而且还是一种解决问题的方法。它影响了每个人的思想，人们还擅长用它来解决实际问题。在数学解题步骤中要考虑到对称性，并且运用对称性进行思考，可以使我们找到比较好的解题方法，在数学中有很多的应用。

（一）在函数中的应用：关于原点对称是奇函数，关于y轴对称是偶函数；函数图像对称转换：函数的轴对称；函数的点对称；函数的对称性与周期性的联系等等。

（二）在几何图形中的应用：对称思想在平面几何、解析几何、立体几何、身影几何中都有应用。如点关于已知点或已知直线对称点问题；曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题；曲线本身的对称问题等等。

（三）在数列中的应用：如果等差数列是有限的，那么与首末两项距离相等的两项的和相等。

五、中学数学教学与对称性

成功的教学总是给人以一种享受.从古至今，在数学教学中，教师要看重基础知识和基本技能的讲解与练习，运用数学中存在的对称性，应用这些特点来激发学生的学习兴趣，增强学习数学的动力。

在数学教学过程中，充分发现数学中的对称性，运算中的对称性、函数中的对称性、几何图形中的对称性，激发学生发现数学中的对称性，使学生从感性认识上升到理性认识，使学生对所学的知识更易于接受，便于理解，培养学生爱好数学的兴趣。

在数学问题的求解过程中，充分运用对称性的思想方法，可以提高学生的直觉思维能力和形象思维能力，开拓解题新思路，进而提高学生解决问题的能力和对数学思想方法的领悟，使学生由此而产生学习数学的兴趣.在数学解题过程中，若能积极挖掘问题中隐含的对称性，巧妙地利用对称性，可使复杂的问题变得条理清楚，如果能对其结构进行对称性的分析，从而确定解题的总体思路或入手方向。

数学常以对称的形式表现出来。其中对称是数学美的重要组成部分，它普遍存在于初等数学与高等数学的各个分支。对称性在数学研究中有重要作用，它是数学创造与发现的方法之一。对称性在数学解题中也有广泛的应用，在解题过程中，考虑对称性的因素有时可提升解题的效果。

六、總结

中职学生因为数学双基普遍比较薄弱，初中的基础较差。那么，如何在数学教学中激发、调动学生的学习积极性就显得很重要，它是数学教学的关键。在函数及几何教学中，我们会让学生小组合作，教师分层教学，师生做一些几何模型，多媒体课件等，让学生通过观察其中的对称性，从而想出解题的思路，找出解题的方法，有效提高学生运算能力，逻辑思维能力及空间想像能力。总之，中职学校数学教师应不断更新数学教学理念，不断提高教学水平，要从学生实际和教材的内容出发，运用合理的教学方法，调动他们学习数学的积极性，从而学好数学。endprint