基于两点估计法的有源配电网概率潮流计算方法研究*

柳永妍，乐健，高鹏，刘开培

（1.武汉大学 电气工程学院，武汉430072；2.国家电网北京市电力公司，北京100031）

0 引 言

为满足日益增长的电力需求，高渗透率分布式电源接入配电网运行将是今后配电网发展的必然趋势。分布式电源的接入使得原有的辐射型配电网变为含有多电源的网络结构，潮流也从单一流向转变为可能出现回流的情况，为评估配电网中各种不确定因素对节点电压、线路网损和谐波等问题的影响，研究相应的概率潮流（Probabilistic Load Flow，PLF）计算方法，考虑配电网中的不确定因素，得出配电网状态量的统计性结果将具有重要的实用价值。

现有配电网络主要为辐射状，前推后代法［1-3］因其不存在矩阵计算且收敛性好而得到广泛的应用。其它潮流计算方法包括有回路阻抗法［4］、Z bus法［2，5］、改进快速解耦法［6］等。

文献［6］提出一种基于逆流拓扑分层搜索的解耦潮流算法，对含有多种网络结构的复杂电网进行计算。利用逆流拓扑分层搜索的方法将复杂配电网分解成辐射网和主环网两个部分，再分别针对两部分求解，这样的处理办法在很大程度上提高了潮流计算速度、收敛性以及适应性，特别是在处理环网率较低的网络结构时，相较单一使用PQ分解法，分层解耦潮流计算方法所需时间要少。

传统潮流计算方法的优化始终都是针对配电网的一组数据进行潮流分析，分布式电源的接入，需要利用统计性的潮流计算结果来针对低电压治理等一系列的问题进行分析。概率潮流（随机潮流）的计算方法，其注入变量不再表示成单一量的形式，而是针对这一变量取多组数据，通过将概率密度函数或者变量分布所具有的数字特征引入潮流计算。将概率论与数理统计的知识与潮流计算方法相结合，综合考虑配电网中状态量的波动，得到潮流计算结果的统计特性。

现有的概率潮流计算方法主要分为模拟法和解析法。模拟法中最为主要的是蒙特卡罗（Monte Carlo）法［7］，蒙特卡罗模拟法是分析概率问题最常用的数学方法，与不同的采样方法相结合可以提高其计算结果的精确度。但理论与实践证明，使用蒙特卡罗法需要大量的采样数据才能获得较高的精度，并且对每一次采样的数据进行一次确定性潮流计算，所花费的时间长，实用性不佳。

但当该方法抽样规模足够大时，其结果的准确性和精确度即可得到很好的保证，因此常常作为其它概率潮流计算方法的验证标准。文献［8-9］提出一种能处理变量相关性的基于拉丁超立方（Latin Hypercube Sampling，LHS）采样的蒙特卡罗概率潮流计算方法，在尽可能保证精度的同时减少计算所需的时间。同样的，也可以将蒙特卡罗概率潮流计算方法与其它采样方法相结合，提高计算效率。

解析法则分为很多种，其分类依据是计算采用节点注入量的数字特征不同，主要包括有快速傅里叶变换法 （FFTM）、半不变量法［10］、点估计法（PEM）［11］等。

提出了基于两点估计法的配电网概率潮流计算方法，根据负荷与分布式电源的概率分布模型，在选取较少采样计算点的情况下，获得与蒙特卡罗潮流计算方法同等精度的潮流计算结果。提高了配电网含波动性负荷潮流计算结果的准确性和可靠性。

1 负荷概率模型

本概率潮流计算中需要用统计特性来表征配电系统的相关状态量，因此需要对配电网中具有不确定性对象之一的负荷建立概率模型。

1.1 一般负荷概率模型

目前认为负荷预测所得结果为正态分布形式，分别用 μP和表示有功功率的期望值和方差，用μQ和表示无功功率的期望值和方差，则负荷有功和无功功率的概率密度函数［12］为：

1.2 光伏发电概率模型

一般认为太阳能辐照度变化曲线［13］近似于正态分布，即：

式中 r为太阳辐照度（W／m2），服从 N（μ，σ2）分布。考虑到干扰因素，可认为一定时间段内的太阳辐照度近似服从Beta分布，当Beta分布取值区间为［0，1］时，即为标准Beta分布。其概率密度函数为：

式中 rmax（W／m2）为该时段太阳最大辐照度，α，β为Beta分布的形状参数。

由于光伏发电系统一般仅向电网提供有功功率，对于无功功率不予考虑。对于一个包含有M个电池组件的太阳能阵列，其总的输出功率为：

式中 A为光伏阵列的总面积，η0为阵列的光电转换效率，CEE为连接效率，IE为逆变器转换效率。设定η＝η0·CEE·IE，可将上式简化为：

根据连续型随机变量概率分布的定理，对于连续型随机变量 X，设 fx（x）为 X的概率密度，若 y＝g（x）是严格单调的连续函数，且反函数 x＝h（y）有连续导数，则Y＝g（X）为连续型随机变量，且概率密度为：

式中α＝min（g（-∞），g（∞））；β＝max（g（-∞），g（∞））。设定 X＝r／rmax，Y＝PSOLAR，代入式（6）可得：

式中RSOLAR＝rmaxAη为太阳能阵列的最大输出功率。

1.3 风力发电概率模型

利用威布尔分布双参数曲线［14］来对风速进行统计描述。假设某风电场的风速序列（v1，v2，…，vN）服从两参数威布尔分布，其概率密度函数和累计概率函数可分别表示为：

式中v为风速；K和C分别为两参数威布尔分布的形状参数和尺度参数。通过改变形状参数K，可以使分布曲线变为不同的形式。当0＜K＜1时，分布的众数为0，分布密度为x的函数；当K＝1时，分布曲线呈指数型；当K＝2时，分布即为瑞利分布；当K＝3.5时，威布尔分布已经逼近于正态分布了。

两参数威布尔分布的均值和标准差［15］可以写为：

式中μ为平均风速；σ为采样风速的标准差；vi为各采样时刻的实际风速；fi为vi对应风速出现的概率。两参数威布尔分布的尺度参数C和形状参数K，可以采用平均风速和标准差估计法获得：

式中μ为平均风速；σ为采样风速的方差。

风电场的出力是风速的函数［16］，可将其表示为：

式中Pr、vr为风轮机的额定功率和额定风速；vci、vco为风轮机的切入、切除风速。a、b可表示为：

如果计及尾流效应，即考虑风向、地形地貌、机组间距等相关因素的影响，造成的典型损失值为10%，可以将该典型系数归入Pr之中。经统计，风速一般处于vci＜v＜vr这个区间范围内，单一风机组的输出功率是风速的函数，结合概率论与数理统计中的定理公式得：

式中Pwind为单台风电机组输出功率；K为形状参数；C为尺度参数。

风机通常不会单独的连入电网，而是以风电场的形式输出功率，假设风电场包含有N台风机，Pfarm＝N·Pwind，则：

风电场的建立，要求具备一定的无功补偿容量，因此可近似认为风电场的功率因数cosφ保持不变，故有：

式中φ为风电场功率因数角；Pfarm和Qfarm分别为风电场有功和无功功率。

2 基于前推回代法的概率潮流计算方法

2.1 蒙特卡洛算法

蒙特卡罗模拟法（MCS）的基本思想是为了求解数学、物理工程技术以及生产管理方面的问题，对待测模型进行抽样实验来计算待求参数的统计特征，最后求得待求量的近似值，所得解的精确度可以用估计值的标准误差来表示。

蒙特卡罗模拟法可以精确地获得状态电压和潮流的概率描述并且计算模式简单易行，然而为了获得精确的结果需要成千上万次的模拟，需要较长的计算时间，故通常作为评价各种算法优劣的标准。

文中采用的蒙特卡罗模拟法的计算步骤为：

（1）首先根据配电网的一组负荷参数，假设其服从正态分布，随机产生若干组数据；

（2）对于含有分布式电源的节点，根据分布式电源的概率分布特性，建立服从该分布的若干组随机数；

（3）利用各组随机数据分别进行确定性潮流计算，得到多组各节点电压和幅值、支路有功功率和无功功率的计算结果；

（4）对所得结果进行统计分析，计算输出变量的数学期望和概率分布情况。

2.2 2n点估计算法

两点估计法（2PEM）通过在每个不确定变量的均值两侧确定两个值，将对节点注入量的求解和支路功率的求解问题分成若干个子问题，在每一个不确定量处用均值两侧的值来代替，同时其他不确定量取均值。由此可见，若系统含有k个不确定量，那么需要对该系统进行2k次确定性潮流计算。

将节点注入向量表示为（m个随机变量）：

支路潮流表示为节点注入量的函数：

两点估计法通过使用均值两侧的两个变量xi1和xi2来匹配随机量xi的前三阶矩，以取代注入量的概率密度函数。将xi1和xi2定义为：

式中aver_xi和sd_xi分别表示xi的均值和标准差，spik为位置度量，其表达式如下：

式中 λi，3为 xi的偏度系数，E［（xi-aver_xi）3］为 xi的三阶中心矩。某一节点注入随机量xi用xi1、xi2代替，其它随机量均设为均值，用2×m组数据来进行确定性潮流计算：

得到的结果包括有节点电压的统计值和支路潮流的两个估计 CLr（i，1）和 CLr（i，2）（r＝1，2，…b），其中b为支路数。用wi，k表示xik的概率集中度，即：

式中xik处位置集中的权重：

两点估计法由多组输入变量的值计算得出其数字特征，再利用其数字特征确定估计点，对各组估计数据进行确定性潮流计算，近似的得到输出变量的统计分布特性，计算速度较快，但输出变量的高阶矩可能误差会相对较大。

在没有给定的概率模型时，将不确定量的个数选为负荷节点的个数，又由于所讨论的为辐射网模型，所以不确定量的个数为节点数N-1＝支路数b。

文中采用两点估计法的算法步骤为：

（1）以IEEE标准辐射型配电网为模型，将其中的节点注入量的值作为节点的注入量的期望值，默认节点注入量服从正态分布，自己设定方差值；

（2）由模型的数字特征产生服从该分布的随机数；

（3）由这些随机数求得两点估计法需要的其他数字特征，例如偏度系数等；

（4）确定需要进行确定性潮流计算的2b组节点注入量数据，然后利用辐射网前推回代潮流计算方法得出2b组计算结果；

（5）对计算结果进行统计分析，得到支路功率和节点电压的相关统计数据。

2.3 2n+1点估计法

2n+1点估计法在2n点估计法的基础上对每一个随机变量xi增加一个估计点，增加的估计点取为随机变量的均值aver_xi，其对应的位置度量spi3＝0，每个估计点的位置度量 spik，概率集中度 wi，k如下［17］：

式中 λi，4为 xi的峰度系数，E［（xi-aver_xi）3］为 xi的四阶中心矩。这里构造了3n个估计点，其中在2n点估计法基础上增加的n个点是对应同一估计点向量（avers_x1，aver_x2，…，aver_xi，…，aver_xm），因此认为是2n+1方案。由于2n+1点估计法考虑到了随机变量的峰度系数，因此认为2n+1方案比2n方案的点估计精度高。

3 算例分析

以标准IEEE-33节点系统为对象，负荷节点注入量给定值作为期望值，将给定值的10%作为方差构造一组服从正态分布的随机数作为概率模型，假设在11号节点存在光伏发电设备，其输入系统的有功功率服从均值为60 kW，方差为10%的正态分布；24号节点设有风机，风机型号为VESTAS RRB 225，其输入系统的有功功率均值为225 kW，切入风速为3.5 m／s、额定风速为13.5 m／s、切出风速为 25 m／s，因风电场通常含有足够的无功补偿装置，可将功率因数控制在一定值，本文设功率因数为1。分别采用蒙特卡罗模拟法、2n点估计法和2n+1点估计法进行概率潮流计算。线路拓扑如图1所示，取系统基准电压为12.66 kV，基准容量为10 kVA，线路参数及节点注入功率参数参考文献［18］。

图1 IEEE 33节点电路拓扑Fig.1 IEEE33 node circuit topology

本文采用的风速模型参考文献［19］，求得尺度参数 C＝7.451 9，形状参数 K＝3.422 5。绘制服从上述参数的威布尔分布风速见图2～图3。

图2 风速概率密度分布Fig.2 Probability density distribution ofwind speed

图3 风速累积概率密度分布Fig.3 Cumulative probability density distribution of wind speed

通过MATLAB仿真得到各支路功率的均值和方差以及各节点电压的期望值。

表1 三种算法所得部分支路有功功率均值Tab.1 Part of branch circuit active power average of three algorithms

表1～表4中的数据显示，以蒙特卡罗所得结果为标准，2n点估计法和2n+1点估计法所得结果支路有功功率和无功功率的均值误差在0.01%范围内，方差误差在0.1×10-5，两种点估计法所得结果差距不大。

表2 三种算法所得部分支路无功功率均值Tab.2 Part of branch circuit reactive power average of three algorithms

表3 三种算法所得部分支路有功功率方差Tab.3 Part of branch circuit active power variance of three algorithms

表4 三种算法所得部分支路无功功率方差Tab.4 Part of branch circuit reactive power variance of three algorithms

表5 三种算法所得部分节点电压期望值Tab.5 Part of node voltage expectation of three algorithms

表5中的数据显示，2n点估计法和2n+1点估计法与蒙特卡罗模拟法计算所得各节点电压期望值相比，其差小于0.05%。

在该算例中，针对给定的负荷模型和分布式电源模型，蒙特卡罗法产生了10 000组随机数，并对这10 000组随机数分别进行了潮流计算，统计其支路功率和节点电压的结果；而两点估计法在32个含有不确定输入量节点上分别取两个估计点，针对每一个节点所取的两个估计点进行潮流计算，共进行32×2＝64次潮流计算，其结果与蒙特卡罗模拟法所得结果只存在很小的误差。因此，针对含有分布式电源的配电网采用两点估计概率潮流方法所得的计算结果有较高的准确性和精确度。部分节点电压分布函数如图4所示。

图4 部分节点电压分布函数Fig.4 Part of node voltage distribution function

采用两点估计法和蒙特卡罗法计算所得的各节点电压分布函数基本相同，24号节点因接有服从Weibull分布的风电模型而使得电压分布函数存在较大的区别，但是总的来说其走向基本相同，两点估计法的计算结果精度高。三种算法计算耗时见表6。

表6 3种算法耗时比较Tab.6 Elapsed time comparison between three algorithms

由表6中的数据可以看出2n点估计法的计算时间约为蒙特卡罗法的1.8%，而2n+1点估计法的计算时间约为蒙特卡罗的2.3%，在计算效率上2n点估计法明显优于2n+1点估计法。通过对配电网上接有的负荷和分布式电源模型数据进行处理，确定其估计点，可以大大减少采样计算点的数量，提高概率潮流的计算效率。

4 结束语

文章对含有风电、光伏和一般负荷的配电网进行了基于前推回代法的概率潮流计算。依据风速和太阳辐照度的统计特性，分别建立服从两参数Weibull分布和正态分布的模型，用以模拟风速和太阳辐照度的概率特性。利用两种点估计法，在选取较少计算点的情况下对含分布式电源的配电网进行概率潮流计算。对比两种方法所得各节点电压、各支路有功和无功功率的期望值和方差。仿真结果表明两种点估计概率潮流计算方法所得结果具有较好的准确性和收敛性，两种点估计方法所得结果基本相同，但是2n法的计算速度优于2n+1点估计法。文章采用的基于前推回代的2n点估计概率潮流计算方法计算速度远高于蒙特罗模拟法，更适用于具有随机性、波动性和多样性的含分布式电源的配电网。